Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31523 / 14131
↖ ↑ ↗
← N 70.982980°
W  6.838989°		 ← 199.02 m → N 70.982980°
W  6.833496°		 →
↑
199.09 m
↓
↑
199.09 m
↓
N 70.981190°
W  6.838989°		 ← 199.04 m →
39 626 m²		 N 70.981190°
W  6.833496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.481010437011719 y=0.215629577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.481010437011719 × 216)
    floor (0.481010437011719 × 65536)
    floor (31523.5)     		tx = 31523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215629577636719 × 216)
    floor (0.215629577636719 × 65536)
    floor (14131.5)     		ty = 14131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31523 / 14131 ti = "16/31523/14131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31523/14131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31523 ÷ 216
    31523 ÷ 65536     		x = 0.481002807617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14131 ÷ 216
    14131 ÷ 65536     		y = 0.215621948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.481002807617188 × 2 - 1) × π
    -0.037994384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.11936288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215621948242188 × 2 - 1) × π
    0.568756103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.78679999643797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11936288} λ = -0.11936288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78679999643797))-π/2
    2×atan(5.97031683053664)-π/2
    2×1.40484152144442-π/2
    2.80968304288885-1.57079632675     		φ = 1.23888672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11936288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.838989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23888672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.982980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31523 KachelY 14131 -0.11936288 1.23888672 -6.838989 70.982980
    Oben rechts KachelX + 1 31524 KachelY 14131 -0.11926701 1.23888672 -6.833496 70.982980
    Unten links KachelX 31523 KachelY + 1 14132 -0.11936288 1.23885547 -6.838989 70.981190
    Unten rechts KachelX + 1 31524 KachelY + 1 14132 -0.11926701 1.23885547 -6.833496 70.981190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23888672-1.23885547) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dl = 199.093749999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23888672-1.23885547) × R
    3.12499999999272e-05 × 6371000     		dr = 199.093749999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.23888672) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32584900535719 × 6371000     		do = 199.024587338832m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11936288--0.11926701) × cos(1.23885547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.325878549630086 × 6371000     		du = 199.04263261939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23888672)-sin(1.23885547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32584900535719-0.325878549630086)×R²
    abs(-0.11926701--0.11936288)×2.95442728959761e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.95442728959761e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.95442728959761e-05×40589641000000     		ar = 39626.3477902918m²