Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31522 / 38604
↖ ↑ ↗
← S 30.505484°
W  6.844482°		 ← 526.24 m → S 30.505484°
W  6.838989°		 →
↑
526.24 m
↓
↑
526.24 m
↓
S 30.510216°
W  6.844482°		 ← 526.22 m →
276 926 m²		 S 30.510216°
W  6.838989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480995178222656 y=0.589057922363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480995178222656 × 216)
    floor (0.480995178222656 × 65536)
    floor (31522.5)     		tx = 31522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589057922363281 × 216)
    floor (0.589057922363281 × 65536)
    floor (38604.5)     		ty = 38604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31522 / 38604 ti = "16/31522/38604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31522/38604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31522 ÷ 216
    31522 ÷ 65536     		x = 0.480987548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38604 ÷ 216
    38604 ÷ 65536     		y = 0.58905029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480987548828125 × 2 - 1) × π
    -0.03802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11945875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58905029296875 × 2 - 1) × π
    -0.1781005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559519492365295
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11945875} λ = -0.11945875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559519492365295))-π/2
    2×atan(0.571483600118111)-π/2
    2×0.519187596429139-π/2
    1.03837519285828-1.57079632675     		φ = -0.53242113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11945875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.844482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53242113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.505484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31522 KachelY 38604 -0.11945875 -0.53242113 -6.844482 -30.505484
    Oben rechts KachelX + 1 31523 KachelY 38604 -0.11936288 -0.53242113 -6.838989 -30.505484
    Unten links KachelX 31522 KachelY + 1 38605 -0.11945875 -0.53250373 -6.844482 -30.510216
    Unten rechts KachelX + 1 31523 KachelY + 1 38605 -0.11936288 -0.53250373 -6.838989 -30.510216
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53242113--0.53250373) × R
    8.25999999999327e-05 × 6371000     		dl = 526.244599999571m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53242113--0.53250373) × R
    8.25999999999327e-05 × 6371000     		dr = 526.244599999571m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11945875--0.11936288) × cos(-0.53242113) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.861580580941742 × 6371000     		do = 526.2428817087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11945875--0.11936288) × cos(-0.53250373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.86153864852242 × 6371000     		du = 526.217269899811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53242113)-sin(-0.53250373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861580580941742-0.86153864852242)×R²
    abs(-0.11936288--0.11945875)×4.19324193223769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19324193223769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19324193223769e-05×40589641000000     		ar = 276925.735906977m²