Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31521 / 39552
↖ ↑ ↗
← S 34.885931°
W  6.849976°		 ← 501.08 m → S 34.885931°
W  6.844482°		 →
↑
501.02 m
↓
↑
501.02 m
↓
S 34.890437°
W  6.849976°		 ← 501.05 m →
251 040 m²		 S 34.890437°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480979919433594 y=0.603523254394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480979919433594 × 216)
    floor (0.480979919433594 × 65536)
    floor (31521.5)     		tx = 31521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603523254394531 × 216)
    floor (0.603523254394531 × 65536)
    floor (39552.5)     		ty = 39552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31521 / 39552 ti = "16/31521/39552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31521/39552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31521 ÷ 216
    31521 ÷ 65536     		x = 0.480972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39552 ÷ 216
    39552 ÷ 65536     		y = 0.603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603515625 × 2 - 1) × π
    -0.20703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.650407854044922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11955463} λ = -0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.650407854044922))-π/2
    2×atan(0.521832901693259)-π/2
    2×0.48096098463532-π/2
    0.961921969270641-1.57079632675     		φ = -0.60887436
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60887436 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.885931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31521 KachelY 39552 -0.11955463 -0.60887436 -6.849976 -34.885931
    Oben rechts KachelX + 1 31522 KachelY 39552 -0.11945875 -0.60887436 -6.844482 -34.885931
    Unten links KachelX 31521 KachelY + 1 39553 -0.11955463 -0.60895300 -6.849976 -34.890437
    Unten rechts KachelX + 1 31522 KachelY + 1 39553 -0.11945875 -0.60895300 -6.844482 -34.890437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60887436--0.60895300) × R
    7.86400000000187e-05 × 6371000     		dl = 501.015440000119m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60887436--0.60895300) × R
    7.86400000000187e-05 × 6371000     		dr = 501.015440000119m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.60887436) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.82029234096332 × 6371000     		do = 501.07679051007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.60895300) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.820247360713896 × 6371000     		du = 501.049314258139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60887436)-sin(-0.60895300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.82029234096332-0.820247360713896)×R²
    abs(-0.11945875--0.11955463)×4.49802494241203e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.49802494241203e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.49802494241203e-05×40589641000000     		ar = 251040.325787351m²