Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31521 / 38606
↖ ↑ ↗
← S 30.514949°
W  6.849976°		 ← 526.25 m → S 30.514949°
W  6.844482°		 →
↑
526.18 m
↓
↑
526.18 m
↓
S 30.519681°
W  6.849976°		 ← 526.22 m →
276 894 m²		 S 30.519681°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480979919433594 y=0.589088439941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480979919433594 × 216)
    floor (0.480979919433594 × 65536)
    floor (31521.5)     		tx = 31521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589088439941406 × 216)
    floor (0.589088439941406 × 65536)
    floor (38606.5)     		ty = 38606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31521 / 38606 ti = "16/31521/38606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31521/38606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31521 ÷ 216
    31521 ÷ 65536     		x = 0.480972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38606 ÷ 216
    38606 ÷ 65536     		y = 0.589080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.17816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.559711239963776
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11955463} λ = -0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559711239963776))-π/2
    2×atan(0.571374030015455)-π/2
    2×0.519104997446014-π/2
    1.03820999489203-1.57079632675     		φ = -0.53258633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53258633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.514949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31521 KachelY 38606 -0.11955463 -0.53258633 -6.849976 -30.514949
    Oben rechts KachelX + 1 31522 KachelY 38606 -0.11945875 -0.53258633 -6.844482 -30.514949
    Unten links KachelX 31521 KachelY + 1 38607 -0.11955463 -0.53266892 -6.849976 -30.519681
    Unten rechts KachelX + 1 31522 KachelY + 1 38607 -0.11945875 -0.53266892 -6.844482 -30.519681
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53258633--0.53266892) × R
    8.25899999999935e-05 × 6371000     		dl = 526.180889999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53258633--0.53266892) × R
    8.25899999999935e-05 × 6371000     		dr = 526.180889999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.53258633) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.861496710225026 × 6371000     		do = 526.246540456048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.53266892) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.86145477112819 × 6371000     		du = 526.220921896675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53258633)-sin(-0.53266892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861496710225026-0.86145477112819)×R²
    abs(-0.11945875--0.11955463)×4.19390968361411e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.19390968361411e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.19390968361411e-05×40589641000000     		ar = 276894.133175703m²