Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31521 / 38529
↖ ↑ ↗
← S 30.149877°
W  6.849976°		 ← 528.21 m → S 30.149877°
W  6.844482°		 →
↑
528.16 m
↓
↑
528.16 m
↓
S 30.154627°
W  6.849976°		 ← 528.19 m →
278 972 m²		 S 30.154627°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480979919433594 y=0.587913513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480979919433594 × 216)
    floor (0.480979919433594 × 65536)
    floor (31521.5)     		tx = 31521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587913513183594 × 216)
    floor (0.587913513183594 × 65536)
    floor (38529.5)     		ty = 38529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31521 / 38529 ti = "16/31521/38529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31521/38529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31521 ÷ 216
    31521 ÷ 65536     		x = 0.480972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38529 ÷ 216
    38529 ÷ 65536     		y = 0.587905883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587905883789062 × 2 - 1) × π
    -0.175811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552328957422287
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11955463} λ = -0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552328957422287))-π/2
    2×atan(0.575607682323511)-π/2
    2×0.522290849282141-π/2
    1.04458169856428-1.57079632675     		φ = -0.52621463
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52621463 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.149877°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31521 KachelY 38529 -0.11955463 -0.52621463 -6.849976 -30.149877
    Oben rechts KachelX + 1 31522 KachelY 38529 -0.11945875 -0.52621463 -6.844482 -30.149877
    Unten links KachelX 31521 KachelY + 1 38530 -0.11955463 -0.52629753 -6.849976 -30.154627
    Unten rechts KachelX + 1 31522 KachelY + 1 38530 -0.11945875 -0.52629753 -6.844482 -30.154627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52621463--0.52629753) × R
    8.28999999999969e-05 × 6371000     		dl = 528.15589999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52621463--0.52629753) × R
    8.28999999999969e-05 × 6371000     		dr = 528.15589999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.52621463) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864714515103376 × 6371000     		do = 528.212141328339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(-0.52629753) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.864672874472757 × 6371000     		du = 528.186705087497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52621463)-sin(-0.52629753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864714515103376-0.864672874472757)×R²
    abs(-0.11945875--0.11955463)×4.16406306182893e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.16406306182893e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.16406306182893e-05×40589641000000     		ar = 278971.641903534m²