Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31521 / 28959
↖ ↑ ↗
← N 70.349241°
W 93.424988°		 ← 102.71 m → N 70.349241°
W 93.422241°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 70.348317°
W 93.424988°		 ← 102.72 m →
10 555 m²		 N 70.348317°
W 93.422241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240489959716797 y=0.220943450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240489959716797 × 217)
    floor (0.240489959716797 × 131072)
    floor (31521.5)     		tx = 31521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220943450927734 × 217)
    floor (0.220943450927734 × 131072)
    floor (28959.5)     		ty = 28959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31521 / 28959 ti = "17/31521/28959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31521/28959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31521 ÷ 217
    31521 ÷ 131072     		x = 0.240486145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28959 ÷ 217
    28959 ÷ 131072     		y = 0.220939636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240486145019531 × 2 - 1) × π
    -0.519027709960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.63057364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220939636230469 × 2 - 1) × π
    0.558120727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.75338797740279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63057364} λ = -1.63057364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75338797740279))-π/2
    2×atan(5.77413220395316)-π/2
    2×1.39931110615436-π/2
    2.79862221230872-1.57079632675     		φ = 1.22782589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63057364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.424988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22782589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.349241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31521 KachelY 28959 -1.63057364 1.22782589 -93.424988 70.349241
    Oben rechts KachelX + 1 31522 KachelY 28959 -1.63052570 1.22782589 -93.422241 70.349241
    Unten links KachelX 31521 KachelY + 1 28960 -1.63057364 1.22780976 -93.424988 70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 31522 KachelY + 1 28960 -1.63052570 1.22780976 -93.422241 70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22782589-1.22780976) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22782589-1.22780976) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63057364--1.63052570) × cos(1.22782589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336286009909931 × 6371000     		do = 102.710403428321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63057364--1.63052570) × cos(1.22780976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 102.715043011319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22782589)-sin(1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336286009909931-0.336301200453459)×R²
    abs(-1.63052570--1.63057364)×1.51905435276101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51905435276101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51905435276101e-05×40589641000000     		ar = 10555.1939131551m²