Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31521 / 14602
↖ ↑ ↗
← N 70.121695°
W  6.849976°		 ← 207.70 m → N 70.121695°
W  6.844482°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
N 70.119827°
W  6.849976°		 ← 207.72 m →
43 141 m²		 N 70.119827°
W  6.844482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480979919433594 y=0.222816467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480979919433594 × 216)
    floor (0.480979919433594 × 65536)
    floor (31521.5)     		tx = 31521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222816467285156 × 216)
    floor (0.222816467285156 × 65536)
    floor (14602.5)     		ty = 14602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31521 / 14602 ti = "16/31521/14602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31521/14602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31521 ÷ 216
    31521 ÷ 65536     		x = 0.480972290039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14602 ÷ 216
    14602 ÷ 65536     		y = 0.222808837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480972290039062 × 2 - 1) × π
    -0.038055419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.11955463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222808837890625 × 2 - 1) × π
    0.55438232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74164343699588
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11955463} λ = -0.11955463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74164343699588))-π/2
    2×atan(5.70671434578276)-π/2
    2×1.3973253876775-π/2
    2.79465077535501-1.57079632675     		φ = 1.22385445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11955463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.849976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22385445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.121695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31521 KachelY 14602 -0.11955463 1.22385445 -6.849976 70.121695
    Oben rechts KachelX + 1 31522 KachelY 14602 -0.11945875 1.22385445 -6.844482 70.121695
    Unten links KachelX 31521 KachelY + 1 14603 -0.11955463 1.22382185 -6.849976 70.119827
    Unten rechts KachelX + 1 31522 KachelY + 1 14603 -0.11945875 1.22382185 -6.844482 70.119827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22385445-1.22382185) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22385445-1.22382185) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(1.22385445) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340023491032665 × 6371000     		do = 207.703852732054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11955463--0.11945875) × cos(1.22382185) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.3400541484443 × 6371000     		du = 207.722579857325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22385445)-sin(1.22382185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340023491032665-0.3400541484443)×R²
    abs(-0.11945875--0.11955463)×3.06574116349378e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.06574116349378e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.06574116349378e-05×40589641000000     		ar = 43140.9133766486m²