Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31520 / 28960
↖ ↑ ↗
← N 70.348317°
W 93.427735°		 ← 102.72 m → N 70.348317°
W 93.424988°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
N 70.347394°
W 93.427735°		 ← 102.72 m →
10 549 m²		 N 70.347394°
W 93.424988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240482330322266 y=0.220951080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240482330322266 × 217)
    floor (0.240482330322266 × 131072)
    floor (31520.5)     		tx = 31520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220951080322266 × 217)
    floor (0.220951080322266 × 131072)
    floor (28960.5)     		ty = 28960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31520 / 28960 ti = "17/31520/28960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31520/28960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31520 ÷ 217
    31520 ÷ 131072     		x = 0.240478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28960 ÷ 217
    28960 ÷ 131072     		y = 0.220947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240478515625 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.63062158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220947265625 × 2 - 1) × π
    0.55810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75334004050317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63062158} λ = -1.63062158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75334004050317))-π/2
    2×atan(5.77385541659152)-π/2
    2×1.39930304571797-π/2
    2.79860609143593-1.57079632675     		φ = 1.22780976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63062158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.427735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22780976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.348317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31520 KachelY 28960 -1.63062158 1.22780976 -93.427735 70.348317
    Oben rechts KachelX + 1 31521 KachelY 28960 -1.63057364 1.22780976 -93.424988 70.348317
    Unten links KachelX 31520 KachelY + 1 28961 -1.63062158 1.22779364 -93.427735 70.347394
    Unten rechts KachelX + 1 31521 KachelY + 1 28961 -1.63057364 1.22779364 -93.424988 70.347394
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22780976-1.22779364) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22780976-1.22779364) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63062158--1.63057364) × cos(1.22780976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		do = 102.715043011319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63062158--1.63057364) × cos(1.22779364) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336316381491998 × 6371000     		du = 102.719679691248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22780976)-sin(1.22779364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336301200453459-0.336316381491998)×R²
    abs(-1.63057364--1.63062158)×1.51810385391471e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51810385391471e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51810385391471e-05×40589641000000     		ar = 10549.1264238981m²