Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31520 / 14534
↖ ↑ ↗
← N 70.248317°
W  6.855469°		 ← 206.41 m → N 70.248317°
W  6.849976°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
N 70.246460°
W  6.855469°		 ← 206.43 m →
42 610 m²		 N 70.246460°
W  6.849976°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480964660644531 y=0.221778869628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480964660644531 × 216)
    floor (0.480964660644531 × 65536)
    floor (31520.5)     		tx = 31520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221778869628906 × 216)
    floor (0.221778869628906 × 65536)
    floor (14534.5)     		ty = 14534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31520 / 14534 ti = "16/31520/14534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31520/14534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31520 ÷ 216
    31520 ÷ 65536     		x = 0.48095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14534 ÷ 216
    14534 ÷ 65536     		y = 0.221771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48095703125 × 2 - 1) × π
    -0.0380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.11965050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221771240234375 × 2 - 1) × π
    0.55645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.74816285534421
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.11965050} λ = -0.11965050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74816285534421))-π/2
    2×atan(5.74404034369023)-π/2
    2×1.39843037369135-π/2
    2.7968607473827-1.57079632675     		φ = 1.22606442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.11965050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.855469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22606442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.248317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31520 KachelY 14534 -0.11965050 1.22606442 -6.855469 70.248317
    Oben rechts KachelX + 1 31521 KachelY 14534 -0.11955463 1.22606442 -6.849976 70.248317
    Unten links KachelX 31520 KachelY + 1 14535 -0.11965050 1.22603202 -6.855469 70.246460
    Unten rechts KachelX + 1 31521 KachelY + 1 14535 -0.11955463 1.22603202 -6.849976 70.246460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22606442-1.22603202) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22606442-1.22603202) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.11965050--0.11955463) × cos(1.22606442) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.337944369162712 × 6371000     		do = 206.412287624975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.11965050--0.11955463) × cos(1.22603202) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.337974862766546 × 6371000     		du = 206.43091274526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22606442)-sin(1.22603202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337944369162712-0.337974862766546)×R²
    abs(-0.11955463--0.11965050)×3.04936038338366e-05×R²
    9.58700000000118e-05×3.04936038338366e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×3.04936038338366e-05×40589641000000     		ar = 42609.6292823114m²