Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3152 / 3099
↖ ↑ ↗
← S 67.441229°
E 97.031250°		 ← 3 749.22 m → S 67.441229°
E 97.119141°		 →
↑
3 746.59 m
↓
↑
3 746.59 m
↓
S 67.474922°
E 97.031250°		 ← 3 743.91 m →
14 036 861 m²		 S 67.474922°
E 97.119141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7696533203125 y=0.7567138671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7696533203125 × 212)
    floor (0.7696533203125 × 4096)
    floor (3152.5)     		tx = 3152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7567138671875 × 212)
    floor (0.7567138671875 × 4096)
    floor (3099.5)     		ty = 3099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3152 / 3099 ti = "12/3152/3099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3152/3099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3152 ÷ 212
    3152 ÷ 4096     		x = 0.76953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3099 ÷ 212
    3099 ÷ 4096     		y = 0.756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76953125 × 2 - 1) × π
    0.5390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.69351479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.51318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61221380802173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69351479} λ = 1.69351479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61221380802173))-π/2
    2×atan(0.199445590729603)-π/2
    2×0.196862417221312-π/2
    0.393724834442623-1.57079632675     		φ = -1.17707149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69351479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 97.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17707149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.441229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3152 KachelY 3099 1.69351479 -1.17707149 97.031250 -67.441229
    Oben rechts KachelX + 1 3153 KachelY 3099 1.69504877 -1.17707149 97.119141 -67.441229
    Unten links KachelX 3152 KachelY + 1 3100 1.69351479 -1.17765956 97.031250 -67.474922
    Unten rechts KachelX + 1 3153 KachelY + 1 3100 1.69504877 -1.17765956 97.119141 -67.474922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17707149--1.17765956) × R
    0.00058806999999983 × 6371000     		dl = 3746.59396999891m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17707149--1.17765956) × R
    0.00058806999999983 × 6371000     		dr = 3746.59396999891m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69351479-1.69504877) × cos(-1.17707149) × R
    0.00153398000000005 × 0.383630905012957 × 6371000     		do = 3749.219686365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69351479-1.69504877) × cos(-1.17765956) × R
    0.00153398000000005 × 0.383087763999222 × 6371000     		du = 3743.91157652672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17707149)-sin(-1.17765956))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383630905012957-0.383087763999222)×R²
    abs(1.69504877-1.69351479)×0.000543141013735204×R²
    0.00153398000000005×0.000543141013735204×6371000²
    0.00153398000000005×0.000543141013735204×40589641000000     		ar = 14036860.6075071m²