Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31519 / 28959
↖ ↑ ↗
← N 70.349241°
W 93.430481°		 ← 102.69 m → N 70.349241°
W 93.427735°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 70.348317°
W 93.430481°		 ← 102.69 m →
10 553 m²		 N 70.348317°
W 93.427735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.240474700927734 y=0.220943450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.240474700927734 × 217)
    floor (0.240474700927734 × 131072)
    floor (31519.5)     		tx = 31519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.220943450927734 × 217)
    floor (0.220943450927734 × 131072)
    floor (28959.5)     		ty = 28959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31519 / 28959 ti = "17/31519/28959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31519/28959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31519 ÷ 217
    31519 ÷ 131072     		x = 0.240470886230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28959 ÷ 217
    28959 ÷ 131072     		y = 0.220939636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.240470886230469 × 2 - 1) × π
    -0.519058227539062 × 3.1415926535     		Λ = -1.63066951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.220939636230469 × 2 - 1) × π
    0.558120727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.75338797740279
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.63066951} λ = -1.63066951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75338797740279))-π/2
    2×atan(5.77413220395316)-π/2
    2×1.39931110615436-π/2
    2.79862221230872-1.57079632675     		φ = 1.22782589
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.63066951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -93.430481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22782589 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.349241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31519 KachelY 28959 -1.63066951 1.22782589 -93.430481 70.349241
    Oben rechts KachelX + 1 31520 KachelY 28959 -1.63062158 1.22782589 -93.427735 70.349241
    Unten links KachelX 31519 KachelY + 1 28960 -1.63066951 1.22780976 -93.430481 70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 31520 KachelY + 1 28960 -1.63062158 1.22780976 -93.427735 70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22782589-1.22780976) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dl = 102.764230000727m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22782589-1.22780976) × R
    1.61300000001141e-05 × 6371000     		dr = 102.764230000727m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.63066951--1.63062158) × cos(1.22782589) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336286009909931 × 6371000     		do = 102.68897864676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.63066951--1.63062158) × cos(1.22780976) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 102.693617261968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22782589)-sin(1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336286009909931-0.336301200453459)×R²
    abs(-1.63062158--1.63066951)×1.51905435276101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51905435276101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51905435276101e-05×40589641000000     		ar = 10552.9921622479m²