Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31516 / 38532
↖ ↑ ↗
← S 30.164126°
W  6.877442°		 ← 528.14 m → S 30.164126°
W  6.871948°		 →
↑
528.09 m
↓
↑
528.09 m
↓
S 30.168876°
W  6.877442°		 ← 528.11 m →
278 898 m²		 S 30.168876°
W  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480903625488281 y=0.587959289550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480903625488281 × 216)
    floor (0.480903625488281 × 65536)
    floor (31516.5)     		tx = 31516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587959289550781 × 216)
    floor (0.587959289550781 × 65536)
    floor (38532.5)     		ty = 38532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31516 / 38532 ti = "16/31516/38532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31516/38532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31516 ÷ 216
    31516 ÷ 65536     		x = 0.48089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38532 ÷ 216
    38532 ÷ 65536     		y = 0.58795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.1759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552616578820007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12003400} λ = -0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552616578820007))-π/2
    2×atan(0.57544214904398)-π/2
    2×0.522166503066417-π/2
    1.04433300613283-1.57079632675     		φ = -0.52646332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52646332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.164126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31516 KachelY 38532 -0.12003400 -0.52646332 -6.877442 -30.164126
    Oben rechts KachelX + 1 31517 KachelY 38532 -0.11993812 -0.52646332 -6.871948 -30.164126
    Unten links KachelX 31516 KachelY + 1 38533 -0.12003400 -0.52654621 -6.877442 -30.168876
    Unten rechts KachelX + 1 31517 KachelY + 1 38533 -0.11993812 -0.52654621 -6.871948 -30.168876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52646332--0.52654621) × R
    8.28900000000576e-05 × 6371000     		dl = 528.092190000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52646332--0.52654621) × R
    8.28900000000576e-05 × 6371000     		dr = 528.092190000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12003400--0.11993812) × cos(-0.52646332) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.864589580409435 × 6371000     		do = 528.135824785718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12003400--0.11993812) × cos(-0.52654621) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.864547926978736 × 6371000     		du = 528.110380725929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52646332)-sin(-0.52654621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864589580409435-0.864547926978736)×R²
    abs(-0.11993812--0.12003400)×4.16534306986183e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.16534306986183e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.16534306986183e-05×40589641000000     		ar = 278897.686083887m²