Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31516 / 19852
↖ ↑ ↗
← N 57.668911°
W  6.877442°		 ← 326.69 m → N 57.668911°
W  6.871948°		 →
↑
326.70 m
↓
↑
326.70 m
↓
N 57.665973°
W  6.877442°		 ← 326.72 m →
106 736 m²		 N 57.665973°
W  6.871948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480903625488281 y=0.302925109863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480903625488281 × 216)
    floor (0.480903625488281 × 65536)
    floor (31516.5)     		tx = 31516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302925109863281 × 216)
    floor (0.302925109863281 × 65536)
    floor (19852.5)     		ty = 19852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31516 / 19852 ti = "16/31516/19852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31516/19852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31516 ÷ 216
    31516 ÷ 65536     		x = 0.48089599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19852 ÷ 216
    19852 ÷ 65536     		y = 0.30291748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48089599609375 × 2 - 1) × π
    -0.0382080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12003400
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30291748046875 × 2 - 1) × π
    0.3941650390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23830599098529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12003400} λ = -0.12003400}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23830599098529))-π/2
    2×atan(3.44976457983261)-π/2
    2×1.28865434741422-π/2
    2.57730869482844-1.57079632675     		φ = 1.00651237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12003400} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.877442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00651237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.668911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31516 KachelY 19852 -0.12003400 1.00651237 -6.877442 57.668911
    Oben rechts KachelX + 1 31517 KachelY 19852 -0.11993812 1.00651237 -6.871948 57.668911
    Unten links KachelX 31516 KachelY + 1 19853 -0.12003400 1.00646109 -6.877442 57.665973
    Unten rechts KachelX + 1 31517 KachelY + 1 19853 -0.11993812 1.00646109 -6.871948 57.665973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00651237-1.00646109) × R
    5.12800000000979e-05 × 6371000     		dl = 326.704880000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00651237-1.00646109) × R
    5.12800000000979e-05 × 6371000     		dr = 326.704880000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12003400--0.11993812) × cos(1.00651237) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.534810916875798 × 6371000     		do = 326.690040093761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12003400--0.11993812) × cos(1.00646109) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.534854246324695 × 6371000     		du = 326.716507951747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00651237)-sin(1.00646109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534810916875798-0.534854246324695)×R²
    abs(-0.11993812--0.12003400)×4.3329448896734e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.3329448896734e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.3329448896734e-05×40589641000000     		ar = 106735.55395856m²