Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31515 / 38526
↖ ↑ ↗
← S 30.135626°
W  6.882935°		 ← 528.23 m → S 30.135626°
W  6.877442°		 →
↑
528.22 m
↓
↑
528.22 m
↓
S 30.140377°
W  6.882935°		 ← 528.21 m →
279 016 m²		 S 30.140377°
W  6.877442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31515 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480888366699219 y=0.587867736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480888366699219 × 216)
    floor (0.480888366699219 × 65536)
    floor (31515.5)     		tx = 31515
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587867736816406 × 216)
    floor (0.587867736816406 × 65536)
    floor (38526.5)     		ty = 38526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31515 / 38526 ti = "16/31515/38526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31515/38526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31515 ÷ 216
    31515 ÷ 65536     		x = 0.480880737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38526 ÷ 216
    38526 ÷ 65536     		y = 0.587860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480880737304688 × 2 - 1) × π
    -0.038238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12012987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12012987} λ = -0.12012987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552041336024567))-π/2
    2×atan(0.575773263220802)-π/2
    2×0.522415213462437-π/2
    1.04483042692487-1.57079632675     		φ = -0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12012987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.882935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31515 KachelY 38526 -0.12012987 -0.52596590 -6.882935 -30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 31516 KachelY 38526 -0.12003400 -0.52596590 -6.877442 -30.135626
    Unten links KachelX 31515 KachelY + 1 38527 -0.12012987 -0.52604881 -6.882935 -30.140377
    Unten rechts KachelX + 1 31516 KachelY + 1 38527 -0.12003400 -0.52604881 -6.877442 -30.140377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52596590--0.52604881) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dl = 528.2196100003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52596590--0.52604881) × R
    8.29100000000471e-05 × 6371000     		dr = 528.2196100003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12012987--0.12003400) × cos(-0.52596590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 528.233338550745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12012987--0.12003400) × cos(-0.52604881) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864797788578714 × 6371000     		du = 528.207912786913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52596590)-sin(-0.52604881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864797788578714)×R²
    abs(-0.12003400--0.12012987)×4.16278207940879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16278207940879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16278207940879e-05×40589641000000     		ar = 279016.493044551m²