Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31513 / 38860
↖ ↑ ↗
← S 31.709477°
W  6.893921°		 ← 519.67 m → S 31.709477°
W  6.888427°		 →
↑
519.62 m
↓
↑
519.62 m
↓
S 31.714150°
W  6.893921°		 ← 519.64 m →
270 021 m²		 S 31.714150°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480857849121094 y=0.592964172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480857849121094 × 216)
    floor (0.480857849121094 × 65536)
    floor (31513.5)     		tx = 31513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592964172363281 × 216)
    floor (0.592964172363281 × 65536)
    floor (38860.5)     		ty = 38860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31513 / 38860 ti = "16/31513/38860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31513/38860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31513 ÷ 216
    31513 ÷ 65536     		x = 0.480850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38860 ÷ 216
    38860 ÷ 65536     		y = 0.59295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59295654296875 × 2 - 1) × π
    -0.1859130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.584063184970764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12032162} λ = -0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584063184970764))-π/2
    2×atan(0.557628011497044)-π/2
    2×0.508680780121727-π/2
    1.01736156024345-1.57079632675     		φ = -0.55343477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55343477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.709477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31513 KachelY 38860 -0.12032162 -0.55343477 -6.893921 -31.709477
    Oben rechts KachelX + 1 31514 KachelY 38860 -0.12022574 -0.55343477 -6.888427 -31.709477
    Unten links KachelX 31513 KachelY + 1 38861 -0.12032162 -0.55351633 -6.893921 -31.714150
    Unten rechts KachelX + 1 31514 KachelY + 1 38861 -0.12022574 -0.55351633 -6.888427 -31.714150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55343477--0.55351633) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dl = 519.61876000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55343477--0.55351633) × R
    8.1560000000036e-05 × 6371000     		dr = 519.61876000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12032162--0.12022574) × cos(-0.55343477) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.850724186290394 × 6371000     		do = 519.666128267318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12032162--0.12022574) × cos(-0.55351633) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.850681314516381 × 6371000     		du = 519.639939980712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55343477)-sin(-0.55351633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850724186290394-0.850681314516381)×R²
    abs(-0.12022574--0.12032162)×4.28717740128537e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.28717740128537e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.28717740128537e-05×40589641000000     		ar = 270021.465371649m²