Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31513 / 38524
↖ ↑ ↗
← S 30.126124°
W  6.893921°		 ← 528.34 m → S 30.126124°
W  6.888427°		 →
↑
528.28 m
↓
↑
528.28 m
↓
S 30.130875°
W  6.893921°		 ← 528.31 m →
279 106 m²		 S 30.130875°
W  6.888427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480857849121094 y=0.587837219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480857849121094 × 216)
    floor (0.480857849121094 × 65536)
    floor (31513.5)     		tx = 31513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587837219238281 × 216)
    floor (0.587837219238281 × 65536)
    floor (38524.5)     		ty = 38524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31513 / 38524 ti = "16/31513/38524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31513/38524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31513 ÷ 216
    31513 ÷ 65536     		x = 0.480850219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38524 ÷ 216
    38524 ÷ 65536     		y = 0.58782958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480850219726562 × 2 - 1) × π
    -0.038299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12032162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58782958984375 × 2 - 1) × π
    -0.1756591796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.551849588426086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12032162} λ = -0.12032162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551849588426086))-π/2
    2×atan(0.575883676946739)-π/2
    2×0.522498132893768-π/2
    1.04499626578754-1.57079632675     		φ = -0.52580006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12032162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.893921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52580006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.126124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31513 KachelY 38524 -0.12032162 -0.52580006 -6.893921 -30.126124
    Oben rechts KachelX + 1 31514 KachelY 38524 -0.12022574 -0.52580006 -6.888427 -30.126124
    Unten links KachelX 31513 KachelY + 1 38525 -0.12032162 -0.52588298 -6.893921 -30.130875
    Unten rechts KachelX + 1 31514 KachelY + 1 38525 -0.12022574 -0.52588298 -6.888427 -30.130875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52580006--0.52588298) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dl = 528.283319999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52580006--0.52588298) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dr = 528.283319999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12032162--0.12022574) × cos(-0.52580006) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.864922664244018 × 6371000     		do = 528.339289539037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12032162--0.12022574) × cos(-0.52588298) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.864881043295106 × 6371000     		du = 528.313865320795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52580006)-sin(-0.52588298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864922664244018-0.864881043295106)×R²
    abs(-0.12022574--0.12032162)×4.16209489122465e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.16209489122465e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.16209489122465e-05×40589641000000     		ar = 279106.118528667m²