Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31512 / 13610
↖ ↑ ↗
← N 71.893824°
W  6.899414°		 ← 189.82 m → N 71.893824°
W  6.893921°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 71.892117°
W  6.899414°		 ← 189.84 m →
36 040 m²		 N 71.892117°
W  6.893921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480842590332031 y=0.207679748535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480842590332031 × 216)
    floor (0.480842590332031 × 65536)
    floor (31512.5)     		tx = 31512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207679748535156 × 216)
    floor (0.207679748535156 × 65536)
    floor (13610.5)     		ty = 13610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31512 / 13610 ti = "16/31512/13610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31512/13610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31512 ÷ 216
    31512 ÷ 65536     		x = 0.4808349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13610 ÷ 216
    13610 ÷ 65536     		y = 0.207672119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.038330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12041749
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207672119140625 × 2 - 1) × π
    0.58465576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83675024584207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12041749} λ = -0.12041749}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83675024584207))-π/2
    2×atan(6.27610927220705)-π/2
    2×1.41279013422335-π/2
    2.8255802684467-1.57079632675     		φ = 1.25478394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12041749} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.899414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25478394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.893824°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31512 KachelY 13610 -0.12041749 1.25478394 -6.899414 71.893824
    Oben rechts KachelX + 1 31513 KachelY 13610 -0.12032162 1.25478394 -6.893921 71.893824
    Unten links KachelX 31512 KachelY + 1 13611 -0.12041749 1.25475414 -6.899414 71.892117
    Unten rechts KachelX + 1 31513 KachelY + 1 13611 -0.12032162 1.25475414 -6.893921 71.892117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25478394-1.25475414) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25478394-1.25475414) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12041749--0.12032162) × cos(1.25478394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3107788859922 × 6371000     		do = 189.819942738256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12041749--0.12032162) × cos(1.25475414) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310807210224885 × 6371000     		du = 189.837242833174m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25478394)-sin(1.25475414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3107788859922-0.310807210224885)×R²
    abs(-0.12032162--0.12041749)×2.83242326847843e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.83242326847843e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.83242326847843e-05×40589641000000     		ar = 36040.0593493176m²