Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31511 / 38808
↖ ↑ ↗
← S 31.466154°
W  6.904907°		 ← 521.02 m → S 31.466154°
W  6.899414°		 →
↑
520.96 m
↓
↑
520.96 m
↓
S 31.470839°
W  6.904907°		 ← 521 m →
271 425 m²		 S 31.470839°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480827331542969 y=0.592170715332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480827331542969 × 216)
    floor (0.480827331542969 × 65536)
    floor (31511.5)     		tx = 31511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592170715332031 × 216)
    floor (0.592170715332031 × 65536)
    floor (38808.5)     		ty = 38808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31511 / 38808 ti = "16/31511/38808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31511/38808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31511 ÷ 216
    31511 ÷ 65536     		x = 0.480819702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38808 ÷ 216
    38808 ÷ 65536     		y = 0.5921630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.038360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12051337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5921630859375 × 2 - 1) × π
    -0.184326171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.579077747410278
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12051337} λ = -0.12051337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.579077747410278))-π/2
    2×atan(0.560414972467897)-π/2
    2×0.510804170771597-π/2
    1.02160834154319-1.57079632675     		φ = -0.54918799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12051337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54918799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.466154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31511 KachelY 38808 -0.12051337 -0.54918799 -6.904907 -31.466154
    Oben rechts KachelX + 1 31512 KachelY 38808 -0.12041749 -0.54918799 -6.899414 -31.466154
    Unten links KachelX 31511 KachelY + 1 38809 -0.12051337 -0.54926976 -6.904907 -31.470839
    Unten rechts KachelX + 1 31512 KachelY + 1 38809 -0.12041749 -0.54926976 -6.899414 -31.470839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54918799--0.54926976) × R
    8.1770000000092e-05 × 6371000     		dl = 520.956670000586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54918799--0.54926976) × R
    8.1770000000092e-05 × 6371000     		dr = 520.956670000586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12051337--0.12041749) × cos(-0.54918799) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852948668209257 × 6371000     		do = 521.024956339613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12051337--0.12041749) × cos(-0.54926976) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.852905981843102 × 6371000     		du = 520.998881309672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54918799)-sin(-0.54926976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.852948668209257-0.852905981843102)×R²
    abs(-0.12041749--0.12051337)×4.26863661546761e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.26863661546761e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.26863661546761e-05×40589641000000     		ar = 271424.634412716m²