Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31511 / 38584
↖ ↑ ↗
← S 30.410782°
W  6.904907°		 ← 526.81 m → S 30.410782°
W  6.899414°		 →
↑
526.75 m
↓
↑
526.75 m
↓
S 30.415519°
W  6.904907°		 ← 526.78 m →
277 492 m²		 S 30.415519°
W  6.899414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480827331542969 y=0.588752746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480827331542969 × 216)
    floor (0.480827331542969 × 65536)
    floor (31511.5)     		tx = 31511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588752746582031 × 216)
    floor (0.588752746582031 × 65536)
    floor (38584.5)     		ty = 38584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31511 / 38584 ti = "16/31511/38584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31511/38584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31511 ÷ 216
    31511 ÷ 65536     		x = 0.480819702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38584 ÷ 216
    38584 ÷ 65536     		y = 0.5887451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480819702148438 × 2 - 1) × π
    -0.038360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12051337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.177490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.557602016380493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12051337} λ = -0.12051337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.557602016380493))-π/2
    2×atan(0.572580457459782)-π/2
    2×0.520014028226422-π/2
    1.04002805645284-1.57079632675     		φ = -0.53076827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12051337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.904907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53076827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.410782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31511 KachelY 38584 -0.12051337 -0.53076827 -6.904907 -30.410782
    Oben rechts KachelX + 1 31512 KachelY 38584 -0.12041749 -0.53076827 -6.899414 -30.410782
    Unten links KachelX 31511 KachelY + 1 38585 -0.12051337 -0.53085095 -6.904907 -30.415519
    Unten rechts KachelX + 1 31512 KachelY + 1 38585 -0.12041749 -0.53085095 -6.899414 -30.415519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53076827--0.53085095) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dl = 526.75428000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53076827--0.53085095) × R
    8.26800000000016e-05 × 6371000     		dr = 526.75428000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12051337--0.12041749) × cos(-0.53076827) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.862418429821831 × 6371000     		do = 526.809574235901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12051337--0.12041749) × cos(-0.53085095) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.862376574583838 × 6371000     		du = 526.784006901828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53076827)-sin(-0.53085095))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.862418429821831-0.862376574583838)×R²
    abs(-0.12041749--0.12051337)×4.18552379924941e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.18552379924941e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.18552379924941e-05×40589641000000     		ar = 277492.4642808m²