Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31510 / 38565
↖ ↑ ↗
← S 30.320729°
W  6.910400°		 ← 527.24 m → S 30.320729°
W  6.904907°		 →
↑
527.26 m
↓
↑
527.26 m
↓
S 30.325471°
W  6.910400°		 ← 527.21 m →
277 988 m²		 S 30.325471°
W  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480812072753906 y=0.588462829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480812072753906 × 216)
    floor (0.480812072753906 × 65536)
    floor (31510.5)     		tx = 31510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588462829589844 × 216)
    floor (0.588462829589844 × 65536)
    floor (38565.5)     		ty = 38565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31510 / 38565 ti = "16/31510/38565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31510/38565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31510 ÷ 216
    31510 ÷ 65536     		x = 0.480804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38565 ÷ 216
    38565 ÷ 65536     		y = 0.588455200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.03839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12060924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588455200195312 × 2 - 1) × π
    -0.176910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.555780414194931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12060924} λ = -0.12060924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.555780414194931))-π/2
    2×atan(0.573624421827712)-π/2
    2×0.520799881808599-π/2
    1.0415997636172-1.57079632675     		φ = -0.52919656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12060924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52919656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.320729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31510 KachelY 38565 -0.12060924 -0.52919656 -6.910400 -30.320729
    Oben rechts KachelX + 1 31511 KachelY 38565 -0.12051337 -0.52919656 -6.904907 -30.320729
    Unten links KachelX 31510 KachelY + 1 38566 -0.12060924 -0.52927932 -6.910400 -30.325471
    Unten rechts KachelX + 1 31511 KachelY + 1 38566 -0.12051337 -0.52927932 -6.904907 -30.325471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52919656--0.52927932) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dl = 527.263959999742m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52919656--0.52927932) × R
    8.27599999999595e-05 × 6371000     		dr = 527.263959999742m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12060924--0.12051337) × cos(-0.52919656) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.863212957700923 × 6371000     		do = 527.239917469316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12060924--0.12051337) × cos(-0.52927932) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.86317117418935 × 6371000     		du = 527.21439661146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52919656)-sin(-0.52927932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863212957700923-0.86317117418935)×R²
    abs(-0.12051337--0.12060924)×4.17835115729126e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.17835115729126e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.17835115729126e-05×40589641000000     		ar = 277987.878799361m²