Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31510 / 19445
↖ ↑ ↗
← N 58.845017°
W  6.910400°		 ← 315.99 m → N 58.845017°
W  6.904907°		 →
↑
316 m
↓
↑
316 m
↓
N 58.842175°
W  6.910400°		 ← 316.02 m →
99 859 m²		 N 58.842175°
W  6.904907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480812072753906 y=0.296714782714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480812072753906 × 216)
    floor (0.480812072753906 × 65536)
    floor (31510.5)     		tx = 31510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296714782714844 × 216)
    floor (0.296714782714844 × 65536)
    floor (19445.5)     		ty = 19445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31510 / 19445 ti = "16/31510/19445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31510/19445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31510 ÷ 216
    31510 ÷ 65536     		x = 0.480804443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19445 ÷ 216
    19445 ÷ 65536     		y = 0.296707153320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480804443359375 × 2 - 1) × π
    -0.03839111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12060924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296707153320312 × 2 - 1) × π
    0.406585693359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27732662727602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12060924} λ = -0.12060924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27732662727602))-π/2
    2×atan(3.58703740803476)-π/2
    2×1.2989178099277-π/2
    2.5978356198554-1.57079632675     		φ = 1.02703929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12060924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.910400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02703929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.845017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31510 KachelY 19445 -0.12060924 1.02703929 -6.910400 58.845017
    Oben rechts KachelX + 1 31511 KachelY 19445 -0.12051337 1.02703929 -6.904907 58.845017
    Unten links KachelX 31510 KachelY + 1 19446 -0.12060924 1.02698969 -6.910400 58.842175
    Unten rechts KachelX + 1 31511 KachelY + 1 19446 -0.12051337 1.02698969 -6.904907 58.842175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02703929-1.02698969) × R
    4.9600000000094e-05 × 6371000     		dl = 316.001600000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02703929-1.02698969) × R
    4.9600000000094e-05 × 6371000     		dr = 316.001600000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12060924--0.12051337) × cos(1.02703929) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.51735479855317 × 6371000     		do = 315.993983707128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12060924--0.12051337) × cos(1.02698969) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.517397244158595 × 6371000     		du = 316.019908963813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02703929)-sin(1.02698969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51735479855317-0.517397244158595)×R²
    abs(-0.12051337--0.12060924)×4.24456054258782e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.24456054258782e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.24456054258782e-05×40589641000000     		ar = 99858.700673736m²