Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3151 / 3091
↖ ↑ ↗
← S 67.169955°
E 96.943359°		 ← 3 791.91 m → S 67.169955°
E 97.031250°		 →
↑
3 789.22 m
↓
↑
3 789.22 m
↓
S 67.204032°
E 96.943359°		 ← 3 786.55 m →
14 358 210 m²		 S 67.204032°
E 97.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7694091796875 y=0.7547607421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7694091796875 × 212)
    floor (0.7694091796875 × 4096)
    floor (3151.5)     		tx = 3151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7547607421875 × 212)
    floor (0.7547607421875 × 4096)
    floor (3091.5)     		ty = 3091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3151 / 3091 ti = "12/3151/3091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3151/3091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3151 ÷ 212
    3151 ÷ 4096     		x = 0.769287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3091 ÷ 212
    3091 ÷ 4096     		y = 0.754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.769287109375 × 2 - 1) × π
    0.53857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.69198081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.69198081} λ = 1.69198081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59994196171899))-π/2
    2×atan(0.201908236061546)-π/2
    2×0.19922972707763-π/2
    0.39845945415526-1.57079632675     		φ = -1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.69198081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.943359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3151 KachelY 3091 1.69198081 -1.17233687 96.943359 -67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 3152 KachelY 3091 1.69351479 -1.17233687 97.031250 -67.169955
    Unten links KachelX 3151 KachelY + 1 3092 1.69198081 -1.17293163 96.943359 -67.204032
    Unten rechts KachelX + 1 3152 KachelY + 1 3092 1.69351479 -1.17293163 97.031250 -67.204032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17233687--1.17293163) × R
    0.000594759999999805 × 6371000     		dl = 3789.21595999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17233687--1.17293163) × R
    0.000594759999999805 × 6371000     		dr = 3789.21595999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.69198081-1.69351479) × cos(-1.17233687) × R
    0.00153398000000005 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 3791.90849735617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.69198081-1.69351479) × cos(-1.17293163) × R
    0.00153398000000005 × 0.387450711530649 × 6371000     		du = 3786.5506042006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17233687)-sin(-1.17293163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.387450711530649)×R²
    abs(1.69351479-1.69198081)×0.00054823498545864×R²
    0.00153398000000005×0.00054823498545864×6371000²
    0.00153398000000005×0.00054823498545864×40589641000000     		ar = 14358209.5131586m²