Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31509 / 38862
↖ ↑ ↗
← S 31.718822°
W  6.915893°		 ← 519.56 m → S 31.718822°
W  6.910400°		 →
↑
519.56 m
↓
↑
519.56 m
↓
S 31.723495°
W  6.915893°		 ← 519.53 m →
269 933 m²		 S 31.723495°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480796813964844 y=0.592994689941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480796813964844 × 216)
    floor (0.480796813964844 × 65536)
    floor (31509.5)     		tx = 31509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.592994689941406 × 216)
    floor (0.592994689941406 × 65536)
    floor (38862.5)     		ty = 38862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31509 / 38862 ti = "16/31509/38862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31509/38862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31509 ÷ 216
    31509 ÷ 65536     		x = 0.480789184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38862 ÷ 216
    38862 ÷ 65536     		y = 0.592987060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.592987060546875 × 2 - 1) × π
    -0.18597412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.584254932569244
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12070511} λ = -0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584254932569244))-π/2
    2×atan(0.557521097915533)-π/2
    2×0.508599222072049-π/2
    1.0171984441441-1.57079632675     		φ = -0.55359788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55359788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.718822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31509 KachelY 38862 -0.12070511 -0.55359788 -6.915893 -31.718822
    Oben rechts KachelX + 1 31510 KachelY 38862 -0.12060924 -0.55359788 -6.910400 -31.718822
    Unten links KachelX 31509 KachelY + 1 38863 -0.12070511 -0.55367943 -6.915893 -31.723495
    Unten rechts KachelX + 1 31510 KachelY + 1 38863 -0.12060924 -0.55367943 -6.910400 -31.723495
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55359788--0.55367943) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dl = 519.55504999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55359788--0.55367943) × R
    8.15499999999858e-05 × 6371000     		dr = 519.55504999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.55359788) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850638442341118 × 6371000     		do = 519.559557273794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.55367943) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850595564508768 × 6371000     		du = 519.53336801819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55359788)-sin(-0.55367943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850638442341118-0.850595564508768)×R²
    abs(-0.12060924--0.12070511)×4.2877832350352e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2877832350352e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2877832350352e-05×40589641000000     		ar = 269932.988527068m²