Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31509 / 38569
↖ ↑ ↗
← S 30.339695°
W  6.915893°		 ← 527.14 m → S 30.339695°
W  6.910400°		 →
↑
527.14 m
↓
↑
527.14 m
↓
S 30.344436°
W  6.915893°		 ← 527.11 m →
277 867 m²		 S 30.344436°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480796813964844 y=0.588523864746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480796813964844 × 216)
    floor (0.480796813964844 × 65536)
    floor (31509.5)     		tx = 31509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588523864746094 × 216)
    floor (0.588523864746094 × 65536)
    floor (38569.5)     		ty = 38569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31509 / 38569 ti = "16/31509/38569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31509/38569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31509 ÷ 216
    31509 ÷ 65536     		x = 0.480789184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38569 ÷ 216
    38569 ÷ 65536     		y = 0.588516235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588516235351562 × 2 - 1) × π
    -0.177032470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.556163909391892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12070511} λ = -0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.556163909391892))-π/2
    2×atan(0.573404481792751)-π/2
    2×0.520634378821826-π/2
    1.04126875764365-1.57079632675     		φ = -0.52952757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52952757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.339695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31509 KachelY 38569 -0.12070511 -0.52952757 -6.915893 -30.339695
    Oben rechts KachelX + 1 31510 KachelY 38569 -0.12060924 -0.52952757 -6.910400 -30.339695
    Unten links KachelX 31509 KachelY + 1 38570 -0.12070511 -0.52961031 -6.915893 -30.344436
    Unten rechts KachelX + 1 31510 KachelY + 1 38570 -0.12060924 -0.52961031 -6.910400 -30.344436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52952757--0.52961031) × R
    8.27400000000811e-05 × 6371000     		dl = 527.136540000517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52952757--0.52961031) × R
    8.27400000000811e-05 × 6371000     		dr = 527.136540000517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.52952757) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863045803337264 × 6371000     		do = 527.137821628214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.52961031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.863004006285304 × 6371000     		du = 527.112292500055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52952757)-sin(-0.52961031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863045803337264-0.863004006285304)×R²
    abs(-0.12060924--0.12070511)×4.17970519598354e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.17970519598354e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.17970519598354e-05×40589641000000     		ar = 277866.878887165m²