Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31509 / 38501
↖ ↑ ↗
← S 30.016787°
W  6.915893°		 ← 528.87 m → S 30.016787°
W  6.910400°		 →
↑
528.86 m
↓
↑
528.86 m
↓
S 30.021543°
W  6.915893°		 ← 528.84 m →
279 689 m²		 S 30.021543°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480796813964844 y=0.587486267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480796813964844 × 216)
    floor (0.480796813964844 × 65536)
    floor (31509.5)     		tx = 31509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587486267089844 × 216)
    floor (0.587486267089844 × 65536)
    floor (38501.5)     		ty = 38501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31509 / 38501 ti = "16/31509/38501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31509/38501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31509 ÷ 216
    31509 ÷ 65536     		x = 0.480789184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38501 ÷ 216
    38501 ÷ 65536     		y = 0.587478637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587478637695312 × 2 - 1) × π
    -0.174957275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.549644491043564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12070511} λ = -0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.549644491043564))-π/2
    2×atan(0.57715495766918)-π/2
    2×0.523452279569496-π/2
    1.04690455913899-1.57079632675     		φ = -0.52389177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52389177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.016787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31509 KachelY 38501 -0.12070511 -0.52389177 -6.915893 -30.016787
    Oben rechts KachelX + 1 31510 KachelY 38501 -0.12060924 -0.52389177 -6.910400 -30.016787
    Unten links KachelX 31509 KachelY + 1 38502 -0.12070511 -0.52397478 -6.915893 -30.021543
    Unten rechts KachelX + 1 31510 KachelY + 1 38502 -0.12060924 -0.52397478 -6.910400 -30.021543
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52389177--0.52397478) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dl = 528.856709999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52389177--0.52397478) × R
    8.30099999999945e-05 × 6371000     		dr = 528.856709999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.52389177) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865878869413397 × 6371000     		do = 528.868223739119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(-0.52397478) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865837340368982 × 6371000     		du = 528.84285830669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52389177)-sin(-0.52397478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865878869413397-0.865837340368982)×R²
    abs(-0.12060924--0.12070511)×4.1529044415678e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.1529044415678e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.1529044415678e-05×40589641000000     		ar = 279688.801651346m²