Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31509 / 19444
↖ ↑ ↗
← N 58.847859°
W  6.915893°		 ← 315.97 m → N 58.847859°
W  6.910400°		 →
↑
316 m
↓
↑
316 m
↓
N 58.845017°
W  6.915893°		 ← 315.99 m →
99 851 m²		 N 58.845017°
W  6.910400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480796813964844 y=0.296699523925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480796813964844 × 216)
    floor (0.480796813964844 × 65536)
    floor (31509.5)     		tx = 31509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296699523925781 × 216)
    floor (0.296699523925781 × 65536)
    floor (19444.5)     		ty = 19444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31509 / 19444 ti = "16/31509/19444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31509/19444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31509 ÷ 216
    31509 ÷ 65536     		x = 0.480789184570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19444 ÷ 216
    19444 ÷ 65536     		y = 0.29669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480789184570312 × 2 - 1) × π
    -0.038421630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12070511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29669189453125 × 2 - 1) × π
    0.4066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27742250107526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12070511} λ = -0.12070511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27742250107526))-π/2
    2×atan(3.58738132742525)-π/2
    2×1.29894260929525-π/2
    2.5978852185905-1.57079632675     		φ = 1.02708889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12070511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.915893°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02708889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.847859°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31509 KachelY 19444 -0.12070511 1.02708889 -6.915893 58.847859
    Oben rechts KachelX + 1 31510 KachelY 19444 -0.12060924 1.02708889 -6.910400 58.847859
    Unten links KachelX 31509 KachelY + 1 19445 -0.12070511 1.02703929 -6.915893 58.845017
    Unten rechts KachelX + 1 31510 KachelY + 1 19445 -0.12060924 1.02703929 -6.910400 58.845017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02708889-1.02703929) × R
    4.9599999999872e-05 × 6371000     		dl = 316.001599999184m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02708889-1.02703929) × R
    4.9599999999872e-05 × 6371000     		dr = 316.001599999184m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(1.02708889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.517312351674968 × 6371000     		do = 315.968057673003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12070511--0.12060924) × cos(1.02703929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.51735479855317 × 6371000     		du = 315.993983707083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02708889)-sin(1.02703929))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517312351674968-0.51735479855317)×R²
    abs(-0.12060924--0.12070511)×4.24468782013188e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.24468782013188e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.24468782013188e-05×40589641000000     		ar = 99850.5081279448m²