Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31508 / 19443
↖ ↑ ↗
← N 58.850700°
W  6.921387°		 ← 315.98 m → N 58.850700°
W  6.915893°		 →
↑
316 m
↓
↑
316 m
↓
N 58.847859°
W  6.921387°		 ← 316 m →
99 853 m²		 N 58.847859°
W  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480781555175781 y=0.296684265136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480781555175781 × 216)
    floor (0.480781555175781 × 65536)
    floor (31508.5)     		tx = 31508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296684265136719 × 216)
    floor (0.296684265136719 × 65536)
    floor (19443.5)     		ty = 19443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31508 / 19443 ti = "16/31508/19443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31508/19443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31508 ÷ 216
    31508 ÷ 65536     		x = 0.48077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19443 ÷ 216
    19443 ÷ 65536     		y = 0.296676635742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296676635742188 × 2 - 1) × π
    0.406646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2775183748745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12080099} λ = -0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2775183748745))-π/2
    2×atan(3.58772527979018)-π/2
    2×1.29896740662814-π/2
    2.59793481325627-1.57079632675     		φ = 1.02713849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02713849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.850700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31508 KachelY 19443 -0.12080099 1.02713849 -6.921387 58.850700
    Oben rechts KachelX + 1 31509 KachelY 19443 -0.12070511 1.02713849 -6.915893 58.850700
    Unten links KachelX 31508 KachelY + 1 19444 -0.12080099 1.02708889 -6.921387 58.847859
    Unten rechts KachelX + 1 31509 KachelY + 1 19444 -0.12070511 1.02708889 -6.915893 58.847859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02713849-1.02708889) × R
    4.9600000000094e-05 × 6371000     		dl = 316.001600000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02713849-1.02708889) × R
    4.9600000000094e-05 × 6371000     		dr = 316.001600000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12080099--0.12070511) × cos(1.02713849) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.517269903524096 × 6371000     		do = 315.975086127127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12080099--0.12070511) × cos(1.02708889) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.517312351674968 × 6371000     		du = 316.001015642911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02713849)-sin(1.02708889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517269903524096-0.517312351674968)×R²
    abs(-0.12070511--0.12080099)×4.24481508727315e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24481508727315e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24481508727315e-05×40589641000000     		ar = 99852.7296811431m²