Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31508 / 14621
↖ ↑ ↗
← N 70.086176°
W  6.921387°		 ← 208.06 m → N 70.086176°
W  6.915893°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
N 70.084305°
W  6.921387°		 ← 208.08 m →
43 294 m²		 N 70.084305°
W  6.915893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480781555175781 y=0.223106384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480781555175781 × 216)
    floor (0.480781555175781 × 65536)
    floor (31508.5)     		tx = 31508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223106384277344 × 216)
    floor (0.223106384277344 × 65536)
    floor (14621.5)     		ty = 14621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31508 / 14621 ti = "16/31508/14621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31508/14621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31508 ÷ 216
    31508 ÷ 65536     		x = 0.48077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14621 ÷ 216
    14621 ÷ 65536     		y = 0.223098754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48077392578125 × 2 - 1) × π
    -0.0384521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12080099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223098754882812 × 2 - 1) × π
    0.553802490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.73982183481032
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12080099} λ = -0.12080099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73982183481032))-π/2
    2×atan(5.69632844481995)-π/2
    2×1.39701542851451-π/2
    2.79403085702902-1.57079632675     		φ = 1.22323453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12080099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.921387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22323453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.086176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31508 KachelY 14621 -0.12080099 1.22323453 -6.921387 70.086176
    Oben rechts KachelX + 1 31509 KachelY 14621 -0.12070511 1.22323453 -6.915893 70.086176
    Unten links KachelX 31508 KachelY + 1 14622 -0.12080099 1.22320187 -6.921387 70.084305
    Unten rechts KachelX + 1 31509 KachelY + 1 14622 -0.12070511 1.22320187 -6.915893 70.084305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22323453-1.22320187) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22323453-1.22320187) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12080099--0.12070511) × cos(1.22323453) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340606408930607 × 6371000     		do = 208.05992899273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12080099--0.12070511) × cos(1.22320187) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.340637115876065 × 6371000     		du = 208.07868637581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22323453)-sin(1.22320187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340606408930607-0.340637115876065)×R²
    abs(-0.12070511--0.12080099)×3.07069454583697e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.07069454583697e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.07069454583697e-05×40589641000000     		ar = 43294.4082088938m²