Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31507 / 19469
↖ ↑ ↗
← N 58.776744°
W  6.926880°		 ← 316.62 m → N 58.776744°
W  6.921387°		 →
↑
316.64 m
↓
↑
316.64 m
↓
N 58.773896°
W  6.926880°		 ← 316.64 m →
100 257 m²		 N 58.773896°
W  6.921387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480766296386719 y=0.297080993652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480766296386719 × 216)
    floor (0.480766296386719 × 65536)
    floor (31507.5)     		tx = 31507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297080993652344 × 216)
    floor (0.297080993652344 × 65536)
    floor (19469.5)     		ty = 19469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31507 / 19469 ti = "16/31507/19469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31507/19469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31507 ÷ 216
    31507 ÷ 65536     		x = 0.480758666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19469 ÷ 216
    19469 ÷ 65536     		y = 0.297073364257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480758666992188 × 2 - 1) × π
    -0.038482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12089686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297073364257812 × 2 - 1) × π
    0.405853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.27502565609425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12089686} λ = -0.12089686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27502565609425))-π/2
    2×atan(3.57879322678009)-π/2
    2×1.29832201443112-π/2
    2.59664402886225-1.57079632675     		φ = 1.02584770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12089686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.926880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02584770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.776744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31507 KachelY 19469 -0.12089686 1.02584770 -6.926880 58.776744
    Oben rechts KachelX + 1 31508 KachelY 19469 -0.12080099 1.02584770 -6.921387 58.776744
    Unten links KachelX 31507 KachelY + 1 19470 -0.12089686 1.02579800 -6.926880 58.773896
    Unten rechts KachelX + 1 31508 KachelY + 1 19470 -0.12080099 1.02579800 -6.921387 58.773896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02584770-1.02579800) × R
    4.96999999999304e-05 × 6371000     		dl = 316.638699999556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02584770-1.02579800) × R
    4.96999999999304e-05 × 6371000     		dr = 316.638699999556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12089686--0.12080099) × cos(1.02584770) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518374159190731 × 6371000     		do = 316.616596717725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12089686--0.12080099) × cos(1.02579800) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.518416659700444 × 6371000     		du = 316.642555509276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02584770)-sin(1.02579800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518374159190731-0.518416659700444)×R²
    abs(-0.12080099--0.12089686)×4.25005097128839e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.25005097128839e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.25005097128839e-05×40589641000000     		ar = 100257.177382743m²