Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31506 / 19820
↖ ↑ ↗
← N 57.762799°
W  6.932373°		 ← 325.81 m → N 57.762799°
W  6.926880°		 →
↑
325.81 m
↓
↑
325.81 m
↓
N 57.759868°
W  6.932373°		 ← 325.84 m →
106 157 m²		 N 57.759868°
W  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19820 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480751037597656 y=0.302436828613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480751037597656 × 216)
    floor (0.480751037597656 × 65536)
    floor (31506.5)     		tx = 31506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302436828613281 × 216)
    floor (0.302436828613281 × 65536)
    floor (19820.5)     		ty = 19820
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31506 / 19820 ti = "16/31506/19820"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31506/19820.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31506 ÷ 216
    31506 ÷ 65536     		x = 0.480743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19820 ÷ 216
    19820 ÷ 65536     		y = 0.30242919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30242919921875 × 2 - 1) × π
    0.3951416015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24137395256097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12099273} λ = -0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24137395256097))-π/2
    2×atan(3.46036457688625)-π/2
    2×1.28947367427489-π/2
    2.57894734854979-1.57079632675     		φ = 1.00815102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00815102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.762799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31506 KachelY 19820 -0.12099273 1.00815102 -6.932373 57.762799
    Oben rechts KachelX + 1 31507 KachelY 19820 -0.12089686 1.00815102 -6.926880 57.762799
    Unten links KachelX 31506 KachelY + 1 19821 -0.12099273 1.00809988 -6.932373 57.759868
    Unten rechts KachelX + 1 31507 KachelY + 1 19821 -0.12089686 1.00809988 -6.926880 57.759868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00815102-1.00809988) × R
    5.11399999998385e-05 × 6371000     		dl = 325.812939998971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00815102-1.00809988) × R
    5.11399999998385e-05 × 6371000     		dr = 325.812939998971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12099273--0.12089686) × cos(1.00815102) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.533425586483202 × 6371000     		do = 325.809824429057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12099273--0.12089686) × cos(1.00809988) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.533468842401116 × 6371000     		du = 325.836244614699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00815102)-sin(1.00809988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533425586483202-0.533468842401116)×R²
    abs(-0.12089686--0.12099273)×4.3255917914542e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.3255917914542e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.3255917914542e-05×40589641000000     		ar = 106157.360820169m²