Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31506 / 19467
↖ ↑ ↗
← N 58.782438°
W  6.932373°		 ← 316.56 m → N 58.782438°
W  6.926880°		 →
↑
316.57 m
↓
↑
316.57 m
↓
N 58.779591°
W  6.932373°		 ← 316.59 m →
100 221 m²		 N 58.779591°
W  6.926880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31506 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480751037597656 y=0.297050476074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480751037597656 × 216)
    floor (0.480751037597656 × 65536)
    floor (31506.5)     		tx = 31506
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297050476074219 × 216)
    floor (0.297050476074219 × 65536)
    floor (19467.5)     		ty = 19467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31506 / 19467 ti = "16/31506/19467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31506/19467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31506 ÷ 216
    31506 ÷ 65536     		x = 0.480743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19467 ÷ 216
    19467 ÷ 65536     		y = 0.297042846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480743408203125 × 2 - 1) × π
    -0.03851318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12099273
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297042846679688 × 2 - 1) × π
    0.405914306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27521740369273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12099273} λ = -0.12099273}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27521740369273))-π/2
    2×atan(3.57947951758198)-π/2
    2×1.29837170885654-π/2
    2.59674341771308-1.57079632675     		φ = 1.02594709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12099273} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.932373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02594709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.782438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31506 KachelY 19467 -0.12099273 1.02594709 -6.932373 58.782438
    Oben rechts KachelX + 1 31507 KachelY 19467 -0.12089686 1.02594709 -6.926880 58.782438
    Unten links KachelX 31506 KachelY + 1 19468 -0.12099273 1.02589740 -6.932373 58.779591
    Unten rechts KachelX + 1 31507 KachelY + 1 19468 -0.12089686 1.02589740 -6.926880 58.779591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02594709-1.02589740) × R
    4.96899999999911e-05 × 6371000     		dl = 316.574989999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02594709-1.02589740) × R
    4.96899999999911e-05 × 6371000     		dr = 316.574989999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12099273--0.12089686) × cos(1.02594709) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.518289162882173 × 6371000     		do = 316.564682012008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12099273--0.12089686) × cos(1.02589740) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.518331657400588 × 6371000     		du = 316.590637144148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02594709)-sin(1.02589740))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.518289162882173-0.518331657400588)×R²
    abs(-0.12089686--0.12099273)×4.24945184150927e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.24945184150927e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.24945184150927e-05×40589641000000     		ar = 100220.569435842m²