Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31505 / 38869
↖ ↑ ↗
← S 31.751525°
W  6.937866°		 ← 519.43 m → S 31.751525°
W  6.932373°		 →
↑
519.36 m
↓
↑
519.36 m
↓
S 31.756196°
W  6.937866°		 ← 519.40 m →
269 767 m²		 S 31.756196°
W  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480735778808594 y=0.593101501464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480735778808594 × 216)
    floor (0.480735778808594 × 65536)
    floor (31505.5)     		tx = 31505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593101501464844 × 216)
    floor (0.593101501464844 × 65536)
    floor (38869.5)     		ty = 38869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31505 / 38869 ti = "16/31505/38869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31505/38869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31505 ÷ 216
    31505 ÷ 65536     		x = 0.480728149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38869 ÷ 216
    38869 ÷ 65536     		y = 0.593093872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480728149414062 × 2 - 1) × π
    -0.038543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12108861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593093872070312 × 2 - 1) × π
    -0.186187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.584926049163925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12108861} λ = -0.12108861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.584926049163925))-π/2
    2×atan(0.557147061779804)-π/2
    2×0.508313833651882-π/2
    1.01662766730376-1.57079632675     		φ = -0.55416866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12108861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55416866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.751525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31505 KachelY 38869 -0.12108861 -0.55416866 -6.937866 -31.751525
    Oben rechts KachelX + 1 31506 KachelY 38869 -0.12099273 -0.55416866 -6.932373 -31.751525
    Unten links KachelX 31505 KachelY + 1 38870 -0.12108861 -0.55425018 -6.937866 -31.756196
    Unten rechts KachelX + 1 31506 KachelY + 1 38870 -0.12099273 -0.55425018 -6.932373 -31.756196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55416866--0.55425018) × R
    8.15200000000571e-05 × 6371000     		dl = 519.363920000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55416866--0.55425018) × R
    8.15200000000571e-05 × 6371000     		dr = 519.363920000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12108861--0.12099273) × cos(-0.55416866) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.85033821556835 × 6371000     		do = 519.430357480446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12108861--0.12099273) × cos(-0.55425018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850295313938401 × 6371000     		du = 519.404150956297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55416866)-sin(-0.55425018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.85033821556835-0.850295313938401)×R²
    abs(-0.12099273--0.12108861)×4.29016299492435e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29016299492435e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29016299492435e-05×40589641000000     		ar = 269766.581416117m²