Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31505 / 19439
↖ ↑ ↗
← N 58.862064°
W  6.937866°		 ← 315.87 m → N 58.862064°
W  6.932373°		 →
↑
315.81 m
↓
↑
315.81 m
↓
N 58.859224°
W  6.937866°		 ← 315.90 m →
99 760 m²		 N 58.859224°
W  6.932373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480735778808594 y=0.296623229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480735778808594 × 216)
    floor (0.480735778808594 × 65536)
    floor (31505.5)     		tx = 31505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296623229980469 × 216)
    floor (0.296623229980469 × 65536)
    floor (19439.5)     		ty = 19439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31505 / 19439 ti = "16/31505/19439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31505/19439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31505 ÷ 216
    31505 ÷ 65536     		x = 0.480728149414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19439 ÷ 216
    19439 ÷ 65536     		y = 0.296615600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480728149414062 × 2 - 1) × π
    -0.038543701171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12108861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.296615600585938 × 2 - 1) × π
    0.406768798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.27790187007146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12108861} λ = -0.12108861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27790187007146))-π/2
    2×atan(3.58910141905752)-π/2
    2×1.29906657561513-π/2
    2.59813315123025-1.57079632675     		φ = 1.02733682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12108861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.937866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02733682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.862064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31505 KachelY 19439 -0.12108861 1.02733682 -6.937866 58.862064
    Oben rechts KachelX + 1 31506 KachelY 19439 -0.12099273 1.02733682 -6.932373 58.862064
    Unten links KachelX 31505 KachelY + 1 19440 -0.12108861 1.02728725 -6.937866 58.859224
    Unten rechts KachelX + 1 31506 KachelY + 1 19440 -0.12099273 1.02728725 -6.932373 58.859224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02733682-1.02728725) × R
    4.95699999998322e-05 × 6371000     		dl = 315.810469998931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02733682-1.02728725) × R
    4.95699999998322e-05 × 6371000     		dr = 315.810469998931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12108861--0.12099273) × cos(1.02733682) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.517100158110726 × 6371000     		do = 315.871396890147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12108861--0.12099273) × cos(1.02728725) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.517142585672466 × 6371000     		du = 315.897313829028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02733682)-sin(1.02728725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517100158110726-0.517142585672466)×R²
    abs(-0.12099273--0.12108861)×4.24275617397774e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.24275617397774e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.24275617397774e-05×40589641000000     		ar = 99759.5867519098m²