Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31502 / 14614
↖ ↑ ↗
← N 70.099269°
W  6.954346°		 ← 207.91 m → N 70.099269°
W  6.948853°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
N 70.097399°
W  6.954346°		 ← 207.93 m →
43 223 m²		 N 70.097399°
W  6.948853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480690002441406 y=0.222999572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480690002441406 × 216)
    floor (0.480690002441406 × 65536)
    floor (31502.5)     		tx = 31502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222999572753906 × 216)
    floor (0.222999572753906 × 65536)
    floor (14614.5)     		ty = 14614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31502 / 14614 ti = "16/31502/14614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31502/14614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31502 ÷ 216
    31502 ÷ 65536     		x = 0.480682373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14614 ÷ 216
    14614 ÷ 65536     		y = 0.222991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.03863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12137623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222991943359375 × 2 - 1) × π
    0.55401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.740492951405
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12137623} λ = -0.12137623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.740492951405))-π/2
    2×atan(5.70015262846104)-π/2
    2×1.39712968576883-π/2
    2.79425937153766-1.57079632675     		φ = 1.22346304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12137623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.954346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22346304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.099269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31502 KachelY 14614 -0.12137623 1.22346304 -6.954346 70.099269
    Oben rechts KachelX + 1 31503 KachelY 14614 -0.12128036 1.22346304 -6.948853 70.099269
    Unten links KachelX 31502 KachelY + 1 14615 -0.12137623 1.22343041 -6.954346 70.097399
    Unten rechts KachelX + 1 31503 KachelY + 1 14615 -0.12128036 1.22343041 -6.948853 70.097399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22346304-1.22343041) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22346304-1.22343041) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12137623--0.12128036) × cos(1.22346304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		do = 207.906997933431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12137623--0.12128036) × cos(1.22343041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34042223485117 × 6371000     		du = 207.925737683158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22346304)-sin(1.22343041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340391553572587-0.34042223485117)×R²
    abs(-0.12128036--0.12137623)×3.06812785833555e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06812785833555e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06812785833555e-05×40589641000000     		ar = 43222.8459045113m²