Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31499 / 13591
↖ ↑ ↗
← N 71.926232°
W  6.970825°		 ← 189.49 m → N 71.926232°
W  6.965332°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 71.924528°
W  6.970825°		 ← 189.51 m →
35 917 m²		 N 71.924528°
W  6.965332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480644226074219 y=0.207389831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480644226074219 × 216)
    floor (0.480644226074219 × 65536)
    floor (31499.5)     		tx = 31499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207389831542969 × 216)
    floor (0.207389831542969 × 65536)
    floor (13591.5)     		ty = 13591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31499 / 13591 ti = "16/31499/13591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31499/13591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31499 ÷ 216
    31499 ÷ 65536     		x = 0.480636596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13591 ÷ 216
    13591 ÷ 65536     		y = 0.207382202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480636596679688 × 2 - 1) × π
    -0.038726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12166385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207382202148438 × 2 - 1) × π
    0.585235595703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.83857184802763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12166385} λ = -0.12166385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83857184802763))-π/2
    2×atan(6.2875522657009)-π/2
    2×1.413072947054-π/2
    2.82614589410801-1.57079632675     		φ = 1.25534957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12166385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.970825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25534957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.926232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31499 KachelY 13591 -0.12166385 1.25534957 -6.970825 71.926232
    Oben rechts KachelX + 1 31500 KachelY 13591 -0.12156798 1.25534957 -6.965332 71.926232
    Unten links KachelX 31499 KachelY + 1 13592 -0.12166385 1.25531982 -6.970825 71.924528
    Unten rechts KachelX + 1 31500 KachelY + 1 13592 -0.12156798 1.25531982 -6.965332 71.924528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25534957-1.25531982) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dl = 189.537249999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25534957-1.25531982) × R
    2.97499999999395e-05 × 6371000     		dr = 189.537249999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12166385--0.12156798) × cos(1.25534957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310241215037928 × 6371000     		do = 189.491539895103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12166385--0.12156798) × cos(1.25531982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310269496972307 × 6371000     		du = 189.508814154733m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25534957)-sin(1.25531982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310241215037928-0.310269496972307)×R²
    abs(-0.12156798--0.12166385)×2.82819343790375e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82819343790375e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82819343790375e-05×40589641000000     		ar = 35917.3424304887m²