Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31498 / 38870
↖ ↑ ↗
← S 31.756196°
W  6.976319°		 ← 519.40 m → S 31.756196°
W  6.970825°		 →
↑
519.36 m
↓
↑
519.36 m
↓
S 31.760867°
W  6.976319°		 ← 519.38 m →
269 753 m²		 S 31.760867°
W  6.970825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480628967285156 y=0.593116760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480628967285156 × 216)
    floor (0.480628967285156 × 65536)
    floor (31498.5)     		tx = 31498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593116760253906 × 216)
    floor (0.593116760253906 × 65536)
    floor (38870.5)     		ty = 38870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31498 / 38870 ti = "16/31498/38870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31498/38870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31498 ÷ 216
    31498 ÷ 65536     		x = 0.480621337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38870 ÷ 216
    38870 ÷ 65536     		y = 0.593109130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480621337890625 × 2 - 1) × π
    -0.03875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12175973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593109130859375 × 2 - 1) × π
    -0.18621826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.585021922963165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12175973} λ = -0.12175973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.585021922963165))-π/2
    2×atan(0.557093648534762)-π/2
    2×0.508273072102497-π/2
    1.01654614420499-1.57079632675     		φ = -0.55425018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12175973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.976319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55425018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.756196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31498 KachelY 38870 -0.12175973 -0.55425018 -6.976319 -31.756196
    Oben rechts KachelX + 1 31499 KachelY 38870 -0.12166385 -0.55425018 -6.970825 -31.756196
    Unten links KachelX 31498 KachelY + 1 38871 -0.12175973 -0.55433170 -6.976319 -31.760867
    Unten rechts KachelX + 1 31499 KachelY + 1 38871 -0.12166385 -0.55433170 -6.970825 -31.760867
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55425018--0.55433170) × R
    8.15199999999461e-05 × 6371000     		dl = 519.363919999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55425018--0.55433170) × R
    8.15199999999461e-05 × 6371000     		dr = 519.363919999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12175973--0.12166385) × cos(-0.55425018) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850295313938401 × 6371000     		do = 519.404150956297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12175973--0.12166385) × cos(-0.55433170) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850252406657806 × 6371000     		du = 519.377940980442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55425018)-sin(-0.55433170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850295313938401-0.850252406657806)×R²
    abs(-0.12166385--0.12175973)×4.29072805955277e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29072805955277e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29072805955277e-05×40589641000000     		ar = 269752.969796509m²