Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31497 / 13594
↖ ↑ ↗
← N 71.921119°
W  6.981812°		 ← 189.54 m → N 71.921119°
W  6.976319°		 →
↑
189.54 m
↓
↑
189.54 m
↓
N 71.919414°
W  6.981812°		 ← 189.56 m →
35 927 m²		 N 71.919414°
W  6.976319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480613708496094 y=0.207435607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480613708496094 × 216)
    floor (0.480613708496094 × 65536)
    floor (31497.5)     		tx = 31497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207435607910156 × 216)
    floor (0.207435607910156 × 65536)
    floor (13594.5)     		ty = 13594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31497 / 13594 ti = "16/31497/13594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31497/13594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31497 ÷ 216
    31497 ÷ 65536     		x = 0.480606079101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13594 ÷ 216
    13594 ÷ 65536     		y = 0.207427978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480606079101562 × 2 - 1) × π
    -0.038787841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12185560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207427978515625 × 2 - 1) × π
    0.58514404296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.83828422662991
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12185560} λ = -0.12185560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83828422662991))-π/2
    2×atan(6.28574409117731)-π/2
    2×1.41302832494752-π/2
    2.82605664989505-1.57079632675     		φ = 1.25526032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12185560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.981812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25526032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.921119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31497 KachelY 13594 -0.12185560 1.25526032 -6.981812 71.921119
    Oben rechts KachelX + 1 31498 KachelY 13594 -0.12175973 1.25526032 -6.976319 71.921119
    Unten links KachelX 31497 KachelY + 1 13595 -0.12185560 1.25523057 -6.981812 71.919414
    Unten rechts KachelX + 1 31498 KachelY + 1 13595 -0.12175973 1.25523057 -6.976319 71.919414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25526032-1.25523057) × R
    2.97500000001616e-05 × 6371000     		dl = 189.537250001029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25526032-1.25523057) × R
    2.97500000001616e-05 × 6371000     		dr = 189.537250001029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12185560--0.12175973) × cos(1.25526032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310326060017217 × 6371000     		do = 189.543362170798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12185560--0.12175973) × cos(1.25523057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310354341127697 × 6371000     		du = 189.560635927201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25526032)-sin(1.25523057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310326060017217-0.310354341127697)×R²
    abs(-0.12175973--0.12185560)×2.8281110480477e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.8281110480477e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.8281110480477e-05×40589641000000     		ar = 35927.1646349712m²