Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31496 / 38492
↖ ↑ ↗
← S 29.973970°
W  6.987305°		 ← 529.10 m → S 29.973970°
W  6.981812°		 →
↑
529.11 m
↓
↑
529.11 m
↓
S 29.978729°
W  6.987305°		 ← 529.07 m →
279 944 m²		 S 29.978729°
W  6.981812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480598449707031 y=0.587348937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480598449707031 × 216)
    floor (0.480598449707031 × 65536)
    floor (31496.5)     		tx = 31496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587348937988281 × 216)
    floor (0.587348937988281 × 65536)
    floor (38492.5)     		ty = 38492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31496 / 38492 ti = "16/31496/38492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31496/38492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31496 ÷ 216
    31496 ÷ 65536     		x = 0.4805908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38492 ÷ 216
    38492 ÷ 65536     		y = 0.58734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4805908203125 × 2 - 1) × π
    -0.038818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12195147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58734130859375 × 2 - 1) × π
    -0.1746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.548781626850403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12195147} λ = -0.12195147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548781626850403))-π/2
    2×atan(0.577653178933791)-π/2
    2×0.523825928108336-π/2
    1.04765185621667-1.57079632675     		φ = -0.52314447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12195147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -6.987305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52314447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.973970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31496 KachelY 38492 -0.12195147 -0.52314447 -6.987305 -29.973970
    Oben rechts KachelX + 1 31497 KachelY 38492 -0.12185560 -0.52314447 -6.981812 -29.973970
    Unten links KachelX 31496 KachelY + 1 38493 -0.12195147 -0.52322752 -6.987305 -29.978729
    Unten rechts KachelX + 1 31497 KachelY + 1 38493 -0.12185560 -0.52322752 -6.981812 -29.978729
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52314447--0.52322752) × R
    8.30499999999734e-05 × 6371000     		dl = 529.111549999831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52314447--0.52322752) × R
    8.30499999999734e-05 × 6371000     		dr = 529.111549999831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12195147--0.12185560) × cos(-0.52314447) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.866252467204736 × 6371000     		do = 529.096412701044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12195147--0.12185560) × cos(-0.52322752) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.866210971896872 × 6371000     		du = 529.071067874488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52314447)-sin(-0.52322752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.866252467204736-0.866210971896872)×R²
    abs(-0.12185560--0.12195147)×4.14953078631264e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.14953078631264e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.14953078631264e-05×40589641000000     		ar = 279944.3180642m²