Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31491 / 13595
↖ ↑ ↗
← N 71.919414°
W  7.014770°		 ← 189.56 m → N 71.919414°
W  7.009277°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 71.917709°
W  7.014770°		 ← 189.58 m →
35 943 m²		 N 71.917709°
W  7.009277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480522155761719 y=0.207450866699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480522155761719 × 216)
    floor (0.480522155761719 × 65536)
    floor (31491.5)     		tx = 31491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207450866699219 × 216)
    floor (0.207450866699219 × 65536)
    floor (13595.5)     		ty = 13595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31491 / 13595 ti = "16/31491/13595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31491/13595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31491 ÷ 216
    31491 ÷ 65536     		x = 0.480514526367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13595 ÷ 216
    13595 ÷ 65536     		y = 0.207443237304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480514526367188 × 2 - 1) × π
    -0.038970947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12243084
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207443237304688 × 2 - 1) × π
    0.585113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.83818835283067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12243084} λ = -0.12243084}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83818835283067))-π/2
    2×atan(6.28514148189792)-π/2
    2×1.41301344820055-π/2
    2.8260268964011-1.57079632675     		φ = 1.25523057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12243084} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.014770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25523057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.919414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31491 KachelY 13595 -0.12243084 1.25523057 -7.014770 71.919414
    Oben rechts KachelX + 1 31492 KachelY 13595 -0.12233497 1.25523057 -7.009277 71.919414
    Unten links KachelX 31491 KachelY + 1 13596 -0.12243084 1.25520081 -7.014770 71.917709
    Unten rechts KachelX + 1 31492 KachelY + 1 13596 -0.12233497 1.25520081 -7.009277 71.917709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25523057-1.25520081) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25523057-1.25520081) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12243084--0.12233497) × cos(1.25523057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310354341127697 × 6371000     		do = 189.560635927201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12243084--0.12233497) × cos(1.25520081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.310382631469612 × 6371000     		du = 189.577915322052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25523057)-sin(1.25520081))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310354341127697-0.310382631469612)×R²
    abs(-0.12233497--0.12243084)×2.82903419143721e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.82903419143721e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.82903419143721e-05×40589641000000     		ar = 35942.5166471399m²