Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31490 / 39539
↖ ↑ ↗
← S 34.827332°
W  7.020264°		 ← 501.43 m → S 34.827332°
W  7.014770°		 →
↑
501.40 m
↓
↑
501.40 m
↓
S 34.831841°
W  7.020264°		 ← 501.41 m →
251 411 m²		 S 34.831841°
W  7.014770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480506896972656 y=0.603324890136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480506896972656 × 216)
    floor (0.480506896972656 × 65536)
    floor (31490.5)     		tx = 31490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603324890136719 × 216)
    floor (0.603324890136719 × 65536)
    floor (39539.5)     		ty = 39539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31490 / 39539 ti = "16/31490/39539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31490/39539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31490 ÷ 216
    31490 ÷ 65536     		x = 0.480499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39539 ÷ 216
    39539 ÷ 65536     		y = 0.603317260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603317260742188 × 2 - 1) × π
    -0.206634521484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.6491614946548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12252672} λ = -0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.6491614946548))-π/2
    2×atan(0.522483698509474)-π/2
    2×0.481472356321581-π/2
    0.962944712643163-1.57079632675     		φ = -0.60785161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60785161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.827332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31490 KachelY 39539 -0.12252672 -0.60785161 -7.020264 -34.827332
    Oben rechts KachelX + 1 31491 KachelY 39539 -0.12243084 -0.60785161 -7.014770 -34.827332
    Unten links KachelX 31490 KachelY + 1 39540 -0.12252672 -0.60793031 -7.020264 -34.831841
    Unten rechts KachelX + 1 31491 KachelY + 1 39540 -0.12243084 -0.60793031 -7.014770 -34.831841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60785161--0.60793031) × R
    7.86999999999871e-05 × 6371000     		dl = 501.397699999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60785161--0.60793031) × R
    7.86999999999871e-05 × 6371000     		dr = 501.397699999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12252672--0.12243084) × cos(-0.60785161) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.820876868046715 × 6371000     		do = 501.433849744135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12252672--0.12243084) × cos(-0.60793031) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.820831919524151 × 6371000     		du = 501.406392872602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60785161)-sin(-0.60793031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.820876868046715-0.820831919524151)×R²
    abs(-0.12243084--0.12252672)×4.49485225648694e-05×R²
    9.58800000000065e-05×4.49485225648694e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×4.49485225648694e-05×40589641000000     		ar = 251410.895687245m²