Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31490 / 13597
↖ ↑ ↗
← N 71.916004°
W  7.020264°		 ← 189.61 m → N 71.916004°
W  7.014770°		 →
↑
189.60 m
↓
↑
189.60 m
↓
N 71.914299°
W  7.020264°		 ← 189.63 m →
35 953 m²		 N 71.914299°
W  7.014770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480506896972656 y=0.207481384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480506896972656 × 216)
    floor (0.480506896972656 × 65536)
    floor (31490.5)     		tx = 31490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.207481384277344 × 216)
    floor (0.207481384277344 × 65536)
    floor (13597.5)     		ty = 13597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31490 / 13597 ti = "16/31490/13597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31490/13597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31490 ÷ 216
    31490 ÷ 65536     		x = 0.480499267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13597 ÷ 216
    13597 ÷ 65536     		y = 0.207473754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480499267578125 × 2 - 1) × π
    -0.03900146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12252672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.207473754882812 × 2 - 1) × π
    0.585052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.83799660523219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12252672} λ = -0.12252672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.83799660523219))-π/2
    2×atan(6.28393643664861)-π/2
    2×1.41298369063873-π/2
    2.82596738127746-1.57079632675     		φ = 1.25517105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12252672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.020264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25517105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.916004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31490 KachelY 13597 -0.12252672 1.25517105 -7.020264 71.916004
    Oben rechts KachelX + 1 31491 KachelY 13597 -0.12243084 1.25517105 -7.014770 71.916004
    Unten links KachelX 31490 KachelY + 1 13598 -0.12252672 1.25514129 -7.020264 71.914299
    Unten rechts KachelX + 1 31491 KachelY + 1 13598 -0.12243084 1.25514129 -7.014770 71.914299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25517105-1.25514129) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dl = 189.600959999228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25517105-1.25514129) × R
    2.97599999998788e-05 × 6371000     		dr = 189.600959999228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12252672--0.12243084) × cos(1.25517105) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.310410921536633 × 6371000     		do = 189.614970828829m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12252672--0.12243084) × cos(1.25514129) × R
    9.58800000000065e-05 × 0.310439211328737 × 6371000     		du = 189.632251690205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25517105)-sin(1.25514129))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.310410921536633-0.310439211328737)×R²
    abs(-0.12243084--0.12252672)×2.82897921038416e-05×R²
    9.58800000000065e-05×2.82897921038416e-05×6371000²
    9.58800000000065e-05×2.82897921038416e-05×40589641000000     		ar = 35952.8187359444m²