Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3149 / 5179
↖ ↑ ↗
← S 42.908160°
W 41.616211°		 ← 3 579.09 m → S 42.908160°
W 41.572265°		 →
↑
3 578.14 m
↓
↑
3 578.14 m
↓
S 42.940339°
W 41.616211°		 ← 3 577.22 m →
12 803 166 m²		 S 42.940339°
W 41.572265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3149 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.38446044921875 y=0.63226318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.38446044921875 × 213)
    floor (0.38446044921875 × 8192)
    floor (3149.5)     		tx = 3149
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63226318359375 × 213)
    floor (0.63226318359375 × 8192)
    floor (5179.5)     		ty = 5179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3149 / 5179 ti = "13/3149/5179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3149/5179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3149 ÷ 213
    3149 ÷ 8192     		x = 0.3843994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5179 ÷ 213
    5179 ÷ 8192     		y = 0.6322021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3843994140625 × 2 - 1) × π
    -0.231201171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.72633990
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6322021484375 × 2 - 1) × π
    -0.264404296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.830650596616333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.72633990} λ = -0.72633990}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.830650596616333))-π/2
    2×atan(0.43576568639588)-π/2
    2×0.410953828791904-π/2
    0.821907657583808-1.57079632675     		φ = -0.74888867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.72633990} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.616211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74888867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.908160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3149 KachelY 5179 -0.72633990 -0.74888867 -41.616211 -42.908160
    Oben rechts KachelX + 1 3150 KachelY 5179 -0.72557291 -0.74888867 -41.572265 -42.908160
    Unten links KachelX 3149 KachelY + 1 5180 -0.72633990 -0.74945030 -41.616211 -42.940339
    Unten rechts KachelX + 1 3150 KachelY + 1 5180 -0.72557291 -0.74945030 -41.572265 -42.940339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74888867--0.74945030) × R
    0.00056162999999998 × 6371000     		dl = 3578.14472999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74888867--0.74945030) × R
    0.00056162999999998 × 6371000     		dr = 3578.14472999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.72633990--0.72557291) × cos(-0.74888867) × R
    0.000766990000000023 × 0.732445942483346 × 6371000     		do = 3579.0921832327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.72633990--0.72557291) × cos(-0.74945030) × R
    0.000766990000000023 × 0.732063455134092 × 6371000     		du = 3577.22316136707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74888867)-sin(-0.74945030))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.732445942483346-0.732063455134092)×R²
    abs(-0.72557291--0.72633990)×0.000382487349253724×R²
    0.000766990000000023×0.000382487349253724×6371000²
    0.000766990000000023×0.000382487349253724×40589641000000     		ar = 12803166.3547889m²