Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31489 / 39567
↖ ↑ ↗
← S 34.953493°
W  7.025757°		 ← 500.61 m → S 34.953493°
W  7.020264°		 →
↑
500.63 m
↓
↑
500.63 m
↓
S 34.957995°
W  7.025757°		 ← 500.58 m →
250 616 m²		 S 34.957995°
W  7.020264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480491638183594 y=0.603752136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480491638183594 × 216)
    floor (0.480491638183594 × 65536)
    floor (31489.5)     		tx = 31489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603752136230469 × 216)
    floor (0.603752136230469 × 65536)
    floor (39567.5)     		ty = 39567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31489 / 39567 ti = "16/31489/39567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31489/39567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31489 ÷ 216
    31489 ÷ 65536     		x = 0.480484008789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39567 ÷ 216
    39567 ÷ 65536     		y = 0.603744506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480484008789062 × 2 - 1) × π
    -0.039031982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12262259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.603744506835938 × 2 - 1) × π
    -0.207489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.651845961033524
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12262259} λ = -0.12262259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651845961033524))-π/2
    2×atan(0.521082989506674)-π/2
    2×0.48037139320473-π/2
    0.960742786409459-1.57079632675     		φ = -0.61005354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12262259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.025757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.61005354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.953493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31489 KachelY 39567 -0.12262259 -0.61005354 -7.025757 -34.953493
    Oben rechts KachelX + 1 31490 KachelY 39567 -0.12252672 -0.61005354 -7.020264 -34.953493
    Unten links KachelX 31489 KachelY + 1 39568 -0.12262259 -0.61013212 -7.025757 -34.957995
    Unten rechts KachelX + 1 31490 KachelY + 1 39568 -0.12252672 -0.61013212 -7.020264 -34.957995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.61005354--0.61013212) × R
    7.85799999999393e-05 × 6371000     		dl = 500.633179999613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.61005354--0.61013212) × R
    7.85799999999393e-05 × 6371000     		dr = 500.633179999613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12262259--0.12252672) × cos(-0.61005354) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819617345346907 × 6371000     		do = 500.612250617746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12262259--0.12252672) × cos(-0.61013212) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819572323443109 × 6371000     		du = 500.584751789524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.61005354)-sin(-0.61013212))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819617345346907-0.819572323443109)×R²
    abs(-0.12252672--0.12262259)×4.50219037982924e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.50219037982924e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.50219037982924e-05×40589641000000     		ar = 250616.21968939m²