Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31486 / 19375
↖ ↑ ↗
← N 59.043380°
W  7.042236°		 ← 314.18 m → N 59.043380°
W  7.036743°		 →
↑
314.22 m
↓
↑
314.22 m
↓
N 59.040555°
W  7.042236°		 ← 314.21 m →
98 726 m²		 N 59.040555°
W  7.036743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480445861816406 y=0.295646667480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480445861816406 × 216)
    floor (0.480445861816406 × 65536)
    floor (31486.5)     		tx = 31486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295646667480469 × 216)
    floor (0.295646667480469 × 65536)
    floor (19375.5)     		ty = 19375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31486 / 19375 ti = "16/31486/19375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31486/19375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31486 ÷ 216
    31486 ÷ 65536     		x = 0.480438232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19375 ÷ 216
    19375 ÷ 65536     		y = 0.295639038085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480438232421875 × 2 - 1) × π
    -0.03912353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.12291021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295639038085938 × 2 - 1) × π
    0.408721923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28403779322282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12291021} λ = -0.12291021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28403779322282))-π/2
    2×atan(3.61119157198071)-π/2
    2×1.30064885774567-π/2
    2.60129771549135-1.57079632675     		φ = 1.03050139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12291021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.042236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03050139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.043380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31486 KachelY 19375 -0.12291021 1.03050139 -7.042236 59.043380
    Oben rechts KachelX + 1 31487 KachelY 19375 -0.12281434 1.03050139 -7.036743 59.043380
    Unten links KachelX 31486 KachelY + 1 19376 -0.12291021 1.03045207 -7.042236 59.040555
    Unten rechts KachelX + 1 31487 KachelY + 1 19376 -0.12281434 1.03045207 -7.036743 59.040555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03050139-1.03045207) × R
    4.93200000000193e-05 × 6371000     		dl = 314.217720000123m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03050139-1.03045207) × R
    4.93200000000193e-05 × 6371000     		dr = 314.217720000123m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12291021--0.12281434) × cos(1.03050139) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.514388939137125 × 6371000     		do = 314.182473048269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12291021--0.12281434) × cos(1.03045207) × R
    9.58700000000118e-05 × 0.51443123322305 × 6371000     		du = 314.208305758695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03050139)-sin(1.03045207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514388939137125-0.51443123322305)×R²
    abs(-0.12281434--0.12291021)×4.2294085924599e-05×R²
    9.58700000000118e-05×4.2294085924599e-05×6371000²
    9.58700000000118e-05×4.2294085924599e-05×40589641000000     		ar = 98725.7589126984m²