Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31485 / 38346
↖ ↑ ↗
← S 29.276816°
W  7.047729°		 ← 532.77 m → S 29.276816°
W  7.042236°		 →
↑
532.74 m
↓
↑
532.74 m
↓
S 29.281607°
W  7.047729°		 ← 532.75 m →
283 823 m²		 S 29.281607°
W  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480430603027344 y=0.585121154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480430603027344 × 216)
    floor (0.480430603027344 × 65536)
    floor (31485.5)     		tx = 31485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585121154785156 × 216)
    floor (0.585121154785156 × 65536)
    floor (38346.5)     		ty = 38346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31485 / 38346 ti = "16/31485/38346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31485/38346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31485 ÷ 216
    31485 ÷ 65536     		x = 0.480422973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38346 ÷ 216
    38346 ÷ 65536     		y = 0.585113525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480422973632812 × 2 - 1) × π
    -0.039154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12300608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585113525390625 × 2 - 1) × π
    -0.17022705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.534784052161346
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12300608} λ = -0.12300608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534784052161346))-π/2
    2×atan(0.585795777819045)-π/2
    2×0.52990974368828-π/2
    1.05981948737656-1.57079632675     		φ = -0.51097684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12300608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51097684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.276816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31485 KachelY 38346 -0.12300608 -0.51097684 -7.047729 -29.276816
    Oben rechts KachelX + 1 31486 KachelY 38346 -0.12291021 -0.51097684 -7.042236 -29.276816
    Unten links KachelX 31485 KachelY + 1 38347 -0.12300608 -0.51106046 -7.047729 -29.281607
    Unten rechts KachelX + 1 31486 KachelY + 1 38347 -0.12291021 -0.51106046 -7.042236 -29.281607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51097684--0.51106046) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dl = 532.743020000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51097684--0.51106046) × R
    8.3620000000062e-05 × 6371000     		dr = 532.743020000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12300608--0.12291021) × cos(-0.51097684) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872267220266224 × 6371000     		do = 532.770150310494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12300608--0.12291021) × cos(-0.51106046) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872226324566092 × 6371000     		du = 532.745171717008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51097684)-sin(-0.51106046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872267220266224-0.872226324566092)×R²
    abs(-0.12291021--0.12300608)×4.08957001326593e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08957001326593e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08957001326593e-05×40589641000000     		ar = 283822.925422033m²