Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31485 / 19374
↖ ↑ ↗
← N 59.046206°
W  7.047729°		 ← 314.16 m → N 59.046206°
W  7.042236°		 →
↑
314.15 m
↓
↑
314.15 m
↓
N 59.043380°
W  7.047729°		 ← 314.18 m →
98 698 m²		 N 59.043380°
W  7.042236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480430603027344 y=0.295631408691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480430603027344 × 216)
    floor (0.480430603027344 × 65536)
    floor (31485.5)     		tx = 31485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295631408691406 × 216)
    floor (0.295631408691406 × 65536)
    floor (19374.5)     		ty = 19374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31485 / 19374 ti = "16/31485/19374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31485/19374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31485 ÷ 216
    31485 ÷ 65536     		x = 0.480422973632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19374 ÷ 216
    19374 ÷ 65536     		y = 0.295623779296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480422973632812 × 2 - 1) × π
    -0.039154052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.12300608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295623779296875 × 2 - 1) × π
    0.40875244140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28413366702206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12300608} λ = -0.12300608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28413366702206))-π/2
    2×atan(3.61153780723367)-π/2
    2×1.30067351494302-π/2
    2.60134702988604-1.57079632675     		φ = 1.03055070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12300608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.047729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03055070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.046206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31485 KachelY 19374 -0.12300608 1.03055070 -7.047729 59.046206
    Oben rechts KachelX + 1 31486 KachelY 19374 -0.12291021 1.03055070 -7.042236 59.046206
    Unten links KachelX 31485 KachelY + 1 19375 -0.12300608 1.03050139 -7.047729 59.043380
    Unten rechts KachelX + 1 31486 KachelY + 1 19375 -0.12291021 1.03050139 -7.042236 59.043380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03055070-1.03050139) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dl = 314.15401000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03055070-1.03050139) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dr = 314.15401000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12300608--0.12291021) × cos(1.03055070) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.514346652375792 × 6371000     		do = 314.156644811569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12300608--0.12291021) × cos(1.03050139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.514388939137125 × 6371000     		du = 314.182473048224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03055070)-sin(1.03050139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514346652375792-0.514388939137125)×R²
    abs(-0.12291021--0.12300608)×4.22867613326661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22867613326661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22867613326661e-05×40589641000000     		ar = 98697.6267782089m²