Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31484 / 19372
↖ ↑ ↗
← N 59.051856°
W  7.053223°		 ← 314.14 m → N 59.051856°
W  7.047729°		 →
↑
314.15 m
↓
↑
314.15 m
↓
N 59.049031°
W  7.053223°		 ← 314.16 m →
98 692 m²		 N 59.049031°
W  7.047729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480415344238281 y=0.295600891113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480415344238281 × 216)
    floor (0.480415344238281 × 65536)
    floor (31484.5)     		tx = 31484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295600891113281 × 216)
    floor (0.295600891113281 × 65536)
    floor (19372.5)     		ty = 19372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31484 / 19372 ti = "16/31484/19372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31484/19372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31484 ÷ 216
    31484 ÷ 65536     		x = 0.48040771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19372 ÷ 216
    19372 ÷ 65536     		y = 0.29559326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48040771484375 × 2 - 1) × π
    -0.0391845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.12310196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29559326171875 × 2 - 1) × π
    0.4088134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28432541462054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12310196} λ = -0.12310196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28432541462054))-π/2
    2×atan(3.61223037733224)-π/2
    2×1.30072282325615-π/2
    2.6014456465123-1.57079632675     		φ = 1.03064932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12310196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03064932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.051856°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31484 KachelY 19372 -0.12310196 1.03064932 -7.053223 59.051856
    Oben rechts KachelX + 1 31485 KachelY 19372 -0.12300608 1.03064932 -7.047729 59.051856
    Unten links KachelX 31484 KachelY + 1 19373 -0.12310196 1.03060001 -7.053223 59.049031
    Unten rechts KachelX + 1 31485 KachelY + 1 19373 -0.12300608 1.03060001 -7.047729 59.049031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03064932-1.03060001) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dl = 314.15401000051m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03064932-1.03060001) × R
    4.93100000000801e-05 × 6371000     		dr = 314.15401000051m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12310196--0.12300608) × cos(1.03064932) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.514262075101365 × 6371000     		do = 314.137749683516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12310196--0.12300608) × cos(1.03060001) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.514304364363838 × 6371000     		du = 314.163582142086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03064932)-sin(1.03060001))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514262075101365-0.514304364363838)×R²
    abs(-0.12300608--0.12310196)×4.22892624729609e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22892624729609e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22892624729609e-05×40589641000000     		ar = 98691.6914605741m²