Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31481 / 39560
↖ ↑ ↗
← S 34.921971°
W  7.069702°		 ← 500.80 m → S 34.921971°
W  7.064209°		 →
↑
500.76 m
↓
↑
500.76 m
↓
S 34.926475°
W  7.069702°		 ← 500.78 m →
250 776 m²		 S 34.926475°
W  7.064209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.480369567871094 y=0.603645324707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.480369567871094 × 216)
    floor (0.480369567871094 × 65536)
    floor (31481.5)     		tx = 31481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.603645324707031 × 216)
    floor (0.603645324707031 × 65536)
    floor (39560.5)     		ty = 39560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31481 / 39560 ti = "16/31481/39560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31481/39560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31481 ÷ 216
    31481 ÷ 65536     		x = 0.480361938476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39560 ÷ 216
    39560 ÷ 65536     		y = 0.6036376953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.480361938476562 × 2 - 1) × π
    -0.039276123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.12338958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6036376953125 × 2 - 1) × π
    -0.207275390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.651174844438843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.12338958} λ = -0.12338958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.651174844438843))-π/2
    2×atan(0.521432814321627)-π/2
    2×0.480646475471502-π/2
    0.961292950943004-1.57079632675     		φ = -0.60950338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.12338958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -7.069702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.60950338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.921971°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31481 KachelY 39560 -0.12338958 -0.60950338 -7.069702 -34.921971
    Oben rechts KachelX + 1 31482 KachelY 39560 -0.12329371 -0.60950338 -7.064209 -34.921971
    Unten links KachelX 31481 KachelY + 1 39561 -0.12338958 -0.60958198 -7.069702 -34.926475
    Unten rechts KachelX + 1 31482 KachelY + 1 39561 -0.12329371 -0.60958198 -7.064209 -34.926475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.60950338--0.60958198) × R
    7.85999999999287e-05 × 6371000     		dl = 500.760599999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.60950338--0.60958198) × R
    7.85999999999287e-05 × 6371000     		dr = 500.760599999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.12338958--0.12329371) × cos(-0.60950338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819932414196343 × 6371000     		do = 500.80469081769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.12338958--0.12329371) × cos(-0.60958198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.819887416281235 × 6371000     		du = 500.777206641466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.60950338)-sin(-0.60958198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.819932414196343-0.819887416281235)×R²
    abs(-0.12329371--0.12338958)×4.4997915108147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4997915108147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4997915108147e-05×40589641000000     		ar = 250776.376089138m²