Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3148 / 3068
↖ ↑ ↗
← S 66.372755°
E 96.679688°		 ← 3 916.86 m → S 66.372755°
E 96.767578°		 →
↑
3 914.09 m
↓
↑
3 914.09 m
↓
S 66.407955°
E 96.679688°		 ← 3 911.36 m →
15 320 182 m²		 S 66.407955°
E 96.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7686767578125 y=0.7491455078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7686767578125 × 212)
    floor (0.7686767578125 × 4096)
    floor (3148.5)     		tx = 3148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7491455078125 × 212)
    floor (0.7491455078125 × 4096)
    floor (3068.5)     		ty = 3068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3148 / 3068 ti = "12/3148/3068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3148/3068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3148 ÷ 212
    3148 ÷ 4096     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3068 ÷ 212
    3068 ÷ 4096     		y = 0.7490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7490234375 × 2 - 1) × π
    -0.498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56466040359863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56466040359863))-π/2
    2×atan(0.209159030768103)-π/2
    2×0.206186609200051-π/2
    0.412373218400102-1.57079632675     		φ = -1.15842311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15842311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.372755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3148 KachelY 3068 1.68737887 -1.15842311 96.679688 -66.372755
    Oben rechts KachelX + 1 3149 KachelY 3068 1.68891285 -1.15842311 96.767578 -66.372755
    Unten links KachelX 3148 KachelY + 1 3069 1.68737887 -1.15903747 96.679688 -66.407955
    Unten rechts KachelX + 1 3149 KachelY + 1 3069 1.68891285 -1.15903747 96.767578 -66.407955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15842311--1.15903747) × R
    0.000614359999999925 × 6371000     		dl = 3914.08755999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15842311--1.15903747) × R
    0.000614359999999925 × 6371000     		dr = 3914.08755999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68891285) × cos(-1.15842311) × R
    0.00153397999999982 × 0.400784729966169 × 6371000     		do = 3916.86378742784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68891285) × cos(-1.15903747) × R
    0.00153397999999982 × 0.400221794779465 × 6371000     		du = 3911.36222940277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15842311)-sin(-1.15903747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400784729966169-0.400221794779465)×R²
    abs(1.68891285-1.68737887)×0.00056293518670425×R²
    0.00153397999999982×0.00056293518670425×6371000²
    0.00153397999999982×0.00056293518670425×40589641000000     		ar = 15320181.5165355m²