Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3148 / 3051
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E 96.679688°		 ← 4 011.35 m → S 65.766727°
E 96.767578°		 →
↑
4 008.51 m
↓
↑
4 008.51 m
↓
S 65.802776°
E 96.679688°		 ← 4 005.74 m →
16 068 274 m²		 S 65.802776°
E 96.767578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3148 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7686767578125 y=0.7449951171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7686767578125 × 212)
    floor (0.7686767578125 × 4096)
    floor (3148.5)     		tx = 3148
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7449951171875 × 212)
    floor (0.7449951171875 × 4096)
    floor (3051.5)     		ty = 3051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3148 / 3051 ti = "12/3148/3051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3148/3051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3148 ÷ 212
    3148 ÷ 4096     		x = 0.7685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3051 ÷ 212
    3051 ÷ 4096     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7685546875 × 2 - 1) × π
    0.537109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.68737887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.68737887} λ = 1.68737887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.68737887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.679688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3148 KachelY 3051 1.68737887 -1.14784592 96.679688 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 3149 KachelY 3051 1.68891285 -1.14784592 96.767578 -65.766727
    Unten links KachelX 3148 KachelY + 1 3052 1.68737887 -1.14847510 96.679688 -65.802776
    Unten rechts KachelX + 1 3149 KachelY + 1 3052 1.68891285 -1.14847510 96.767578 -65.802776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14847510) × R
    0.000629180000000007 × 6371000     		dl = 4008.50578000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14847510) × R
    0.000629180000000007 × 6371000     		dr = 4008.50578000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.68737887-1.68891285) × cos(-1.14784592) × R
    0.00153397999999982 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 4011.34832040327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.68737887-1.68891285) × cos(-1.14847510) × R
    0.00153397999999982 × 0.409878839145317 × 6371000     		du = 4005.7403943927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14847510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.409878839145317)×R²
    abs(1.68891285-1.68737887)×0.000573819063871717×R²
    0.00153397999999982×0.000573819063871717×6371000²
    0.00153397999999982×0.000573819063871717×40589641000000     		ar = 16068273.7560952m²